Naturaleza

Principio de intervalos encajados: Todo sistema de intervalos encajados [an; bn]
tiene al menos un punto com¶un a todos los intervalos del sistema. Si el sistema es
in¯nitesimal, es decir bn ¡ an ! 0 entonces dicho punto es ¶unico.
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Antes de expresar el siguiente resultado, introduciremos alguna terminolog¶³a espe-
cial.
Sea S una colecci¶on de n¶umeros (reales), a la que se denominaraconjunto. Cada
n¶umero considerado individualmente se llama elemento del conjunto y se dice que
pertenece al conjunto. Si existe un n¶umero real b tal que x · b para cada x del
conjunto, b se denominara cota superior de S.
Por ejemplo el conjunto de todos los n¶umeros negativos es un conjunto acotado
superiormente. En efecto, cada n¶umero real positivo b es una cota superior de este
conjunto.El n¶umero 0 es tambi¶en una cota superior, pero ning¶un n¶umero inferior a
0 tiene esta propiedad. Este hecho se expresa diciendo que 0 es el supremo de este
conjunto.
En general, un n¶umero b se denomina supremo de S (¶³n¯mo de S) si es la menor
(mayor) de las cotas superiores (inferiores) del conjunto, es decir:
i) b es una cota superior de S y
ii) ning¶un b1 < b es cota superior de S
Elsiguiente resultado se re¯ere a conjuntos no vac¶³os:
Axioma del supremo: Sea S un conjunto no vac¶³o de n¶umeros reales acotado
superiormente, existe entonces un n¶umero real y solo uno que es el supremo S.
Comentaremos ahora acerca de otra forma de construir el campo de los n¶umeros
reales, las cortaduras.
La teor¶³a de los n¶umeros reales en la forma de Dedekind esta basada en la idea decortar el dominio de los n¶umeros racionales, es decir dividimos el conjunto de todos
los n¶umeros racionales en dos conjuntos no vac¶³os A y A0 y asumimos que:
i) todo n¶umero racional se encuentra en uno y solo uno de los conjuntos A y A0.
ii) todo n¶umero del conjunto A es menor que cualquiera del conjunto A0.
El conjunto A es llamado clase baja y el conjunto A0 clase alta. El corte puedeser
denotado por AjA0.
La de¯nici¶on implica que todo n¶umero racional m¶as peque~no que el n¶umero a de la
clase baja se encuentra en esta clase.
Ejemplos:
De¯namos A como el conjunto de los n¶umeros racionales a que
1.) Satisfacen a < 1, mientras que el conjunto A0 contendr¶a todos los n¶umeros a0
tales que a0 ¸ 1.
F¶acilmente se observa que en efecto hemos obtenido una cortadura eln¶umero 1 se
encuentra en la clase A0 y obviamente es el m¶as peque~no del conjunto, por otro lado
1 no es el n¶umero mayor de la clase A puesto que para cada a 2 A existe un n¶umero
racional a1 ,localizado entre A y la unidad, consecuentemente mayor que a y adem¶as
perteneciente a la clase A.
2.) La clase baja contendr¶a todos los n¶umeros racionales a tales que a · 1 mientras
que la clase altacontendr¶a todos los racionales a0 con a0 < 1.
Este ejemplo tambi¶en es una cortadura, y ahora la clase alta no tiene un elemento
m¶³nimo sin embargo la clase baja si tiene un elemento m¶aximo.
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3.) La clase A contiene a todo n¶umero racional tal que a2 < 2, mientras que la clase
A contiene a todo n¶umero racional que cumple a02 > 2.
Es f¶acil ver que este ejemplo tambi¶en es una cortadura.Ahora la clase A no tiene
un n¶umero m¶aximo y la clase A0 no tiene un n¶umero m¶³nimo.
Probaremos por ejemplo la primera a¯rmaci¶on(La segunda se podr¶a probar de for-
ma an¶aloga).
Sea a un n¶umero positivo de la clase A de aqu¶³ que a2 < 2. Probaremos que selec-
cionando un entero positivo n tal que (a + 1
n)2 < 2 de modo que a + 1
n tambi¶en se
encuentra en la clase A. Esta desigualdades equivalente a:
a2 +
2a
n
+
1
n2 < 2
2a
n
+
1
n2 < 2 ¡ a2
y esta ¶ultima desigualdad se satiaface tambi¶en si n es tal que:
2a + 1
n
< 2 ¡ a2
para el cual es su¯ciente tomar
n >
2a + 1
2 ¡ a2
Por otra parte es importante notar que no existir¶a una cortadura que tenga si-
mult¶aneamente un n¶umero m¶aximo a0 en la clase baja y un n¶umero m¶³nimo a0
0 en
la clase alta....