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EL PRODUCTO VECTORIAL
Juan Francisco Gonz´lez Hern´ndez a a
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Resumen Se desarrolla una exposici´n hist´rica del origen de la operaci´n que o o o llamamos producto vectorial, destac´ndose los problemas y conceptos maa ´ tem´ticos que llevaron a su introducci´n en el Algebra. Se incluye una a o descripci´n de las m´s destacadas y representativas aplicaciones de este o a producto en F´ ısicay Matem´ticas, as´ como una visi´n general de las a ı o diferentes alternativas para generalizar este producto a espacios de m´s a dimensiones. Finalmente, se discute acerca de la mejor manera de introducir este concepto a nivel te´rico y pr´ctico en los ultimos cursos de o a ´ la E.S.O. y en Bachillerato, destac´ndose algunos puntos pedag´gicos y a o did´cticos que pueden ser de inter´spr´ctico. a e a

´ Indice
1. Introducci´n o 2. Historia y desarrollo del producto vectorial 2.1. W. R.Hamilton: complejos, cuaternios y vectores 2.2. Grassmann y el c´lculo de extensiones . . . . . . a 2.3. Gibbs, Heaviside y el an´lisis vectorial . . . . . . a 2.4. William K. Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Una s´ ıntesis moderna del producto vectorial . . . 2.5.1. Definici´n . . . . . .. . . . . . . . . . . . o 2.5.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Propiedades interesantes . . . . . . . . . . 2.5.4. Matrices, SO(3) y producto vectorial . . . 2.5.5. Notaci´n tensorial y producto vectorial . o 2.5.6. Vectores axiales y quiralidad . . . . . . . 2 3 4 8 10 12 13 14 14 14 14 15 15

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3. Aplicaciones del producto vectorial 16 3.1. Aplicaciones en Matem´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 a 3.1.1. C´lculo de ´reas y vol´menes . . . . . . . . . . . . . . . . 16 a a u 3.1.2. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 16 ´ 3.1.3. Algebras de Lie y producto vectorial . . . . . . . . . . . . 17 3.1.4. M´todo de Cayley-Dickson, semioctavas, octavas y Matrie ces de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.5. Otras utilidades matem´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . 19 a

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3.2. Aplicaciones en la F´ ısica . . . . . . .. . . . . . . 3.2.1. Momento angular y torque . . . . . . . . 3.2.2. Vector de Laplace-Runge-Lenz . . . . . . 3.2.3. Sistemas de referencia no inerciales . . . . 3.2.4. Redes de Bravais . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Expresi´n de la fuerza de Lorentz y vector o 3.2.6. Ley de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . 3.2.7. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . 3.2.8. Rotacional y vorticidad. . . . . . . . . . 4. Generalizaciones ´ 4.1. Algebras normadas en D=1, 2, 4, 8 . . . . . . . . 4.1.1. Las ´lgebras con divisi´n K = R, C, H, O . a o 4.1.2. A × B s´lo existe en D = 0, 1, 3, 7 . . . . o ´ 4.2. Producto exterior y Algebra de Grassmann . . . ´ 4.2.1. Algebra de Grassmann para principiantes ´ 4.2.2. Algebras de Grassmann en serio. . . . . . 4.3. Forma de volumen y dual de Hodge . .. . . . . ´ ´ 4.4. Algebras de Clifford (Algebra geom´trica) . . . . e 5. Pedagog´ y Did´ctica ıa a 5.1. La regla del tornillo y del sacacorchos . . . . . 5.2. La regla de la mano derecha . . . . . . . . . . . 5.3. La t´cnica e intuici´n algebraicas . . . . . . . . e o 5.4. Problemas comunes de tipo did´ctico y recursos a 6. Conclusiones y discusi´n o A. Cronolog´ algebraica ıa B. Perfilesbiogr´ficos a B.1. W. R. Hamilton . . . . . . . . B.2. Hermann G¨nther Grassmann u B.3. Oliver Heaviside . . . . . . . B.4. Josiah W. Gibbs . . . . . . . B.5. Arthur Cayley . . . . . . . . B.6. W. K. Clifford . . . . . . . . B.7. Nabla . . . . . . . . . . . . .

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