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14

Integral definida

1. Integral definida
■ Piensa y calcula
Halla, contando, el área de la 2ª figura del margen, la que tiene un signo + dentro. Cada cuadradito es una unidad cuadrada. Solución: Tiene exactamente 7,5 u2
y=x–1

Y

[ 2

+

]

X 5

x=2

x=5

● Aplica la teoría
1. Calcula
Solución:
Y

∫

2

(5 – x2) dx

–1

a) F(x) = x – x2 b) F(1) = 0, F(3) = –6 c)

∫ (5 – x ) dx = – 6 u
2 1

3

2

3. Siendo |x| el valor absoluto o módulo de x, calcula la
integral definida
X
–1 2

∫

2

|x| dx
–1

Solución:
Y

x3 3 14 22 b) F(– 1) = – , F(2) = 3 3 a) F(x) = 5x – c)

∫

2

X

(5 – x2) dx = 12 u2
–1 3

–1

2

2. Calcula
Solución:

∫ (– 2x + 1) dx
1

a)

∫

2

|x| dx =
–1

∫

0

(–x) dx +
–1

∫2

x dx
0

Sea F(x) = (–x) dx
Y

∫

F(x) = –
1 3

x2
© Grupo Editorial Bruño, S.L.

X

2 1 F(–1) = – , F(0) = 0 2

∫

0

(–x) dx =
–1

1 2 u 2

G(x) = x dx

∫

456

SOLUCIONARIO

x2 2 G(0) = 0, G(2) = 2 G(x) =

a) F(x) = x(L |x| – 1) b) F(1) = –1, F(2) = 2(L 2 – 1) c)

∫ x dx = 2 ∫ |x| dx = ∫
0 2 –1

2

u2
0

∫ L x dx = 2 L 2 – 1 = 0,39 u
12

2

5 (– x) dx + x dx = = 2,5 u2 2 –1 0

∫

2

6. Calcula el valor de
Solución:

∫

1

0

x dx 2 ex
Y

4. Calcula la derivada de F(x) =
Solución: F'(x) = 2x cos x2 – 3 cos 3x

∫

x2

cos t dt

3x

X
0 1

5. Calcula
Solución:

∫ L x dx
1

2

Y X
1 2

1 –x2 e 2 1 1 b) F(0) = – , F(1) = – e–1 2 2 a) F(x) = – c)

∫

1 0

1 x dx = (1 – e–1) = 0,32u2 2 2 ex

2. Cálculo de áreas
■ Piensa y calcula
Halla por aproximación el área de las dos regiones, la amarilla y la verde, del dibujo del margen. Cada cuadradito es una unidad cuadrada. Solución: La amarilla, 5 u2 aproximadamente, y la verde 2 u2 aproximadamente. En total, unas 7 unidades cuadradas.
y = x2 – 2x – 3

Y

A2 1 A1 3 4

X

x=1

x=4

● Aplica la teoría
7. Halla elárea de la región plana limitada por la gráfica de
f(x) = x3 – 3x2 – x + 3, el eje de abscisas y las rectas x = 0, x = 3 Solución:
Y
© Grupo Editorial Bruño, S.L.

Raíces: x1 = –1, x2 = 1, x3 = 3

1 0 3

X

∫(x – 3x – x + 3) dx = 4 – x – 7 ∫ (x – 3x – x + 3) dx = 4 u ∫ (x – 3x – x + 3) dx = – 4 u
3 2 3 1 3 2 2 0 3 1 3 2 2

x4

x2 + 3x 2

Área =

23 = 5,75 u2 4

TEMA 14.INTEGRAL DEFINIDA

457

8. Halla el área del recinto limitado por la recta y = 3 – 2x
y la parábola y = 2x – x2 Solución:
Y

Raíces: x = 0 1 x2 dx = L |x3 – 2| 3–2 3 x
3 2 2 3

∫ 1 x ∫ x – 2 dx = 3 (L 25 – L 6) u
Área =
3 1

2

X

1 (L 25 – L 6) = 0,48 u2 3

11. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Dibuja el recinto limitado por las curvas: y = ex + 2, y = e –x, y = 0, x = –2, x= 0 b) Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior. Solución:
Y

Raíces: x1 = 1, x2 = 3

∫ 4 ∫ (– x + 4x – 3) dx = 3 u
(– x2 + 4x – 3) dx = –
3 1 2

x3 + 2x2 – 3x 3
2

Área =

4 = 1,33 u2 3
X
–1

9. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de
y= x3 – 4x y el eje X Raíces: x = – 1
Y

Solución:

–2

0 2

X

∫ ∫

–1

ex + 2 dx = e –1 u2
–2 0

e–x dx = e – 1 u2
–1

Área = 2e – 2 = 3,44 u2

12. Dada la función, definida en los números reales salvo
en x = 0 Raíces: x1 = – 2, x2 = 0, x3 = 2 x4 2 x calcula el área de la región plana limitada por la gráfica de f(x) y el semieje positivo X f(x) = 3 – x – Solución:
Y

∫(x – 4x) dx = 4 – 2x ∫ (x – 4x) dx = 4 u ∫ (x – 4x) dx = – 4 u
3 0 3 2 –2 2 0 3 2

2

Área = 8 u210. Calcula el área de la región limitada por la curva
y= x2 y las rectas y = 0, x = 2, x = 3 x3 – 2
Y
1 2

X

Solución:

X
2 3

) ∫( 2 3 ∫ (3 – x – x ) dx = 2 – 2 L 2 u
2 1

2

Área =

3 – 2 L 2 = 0,11 u2 2

458

SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

Raíces: x1 = 1, x2 = 2 2 x2 – 2L|x| 3–x– dx = 3x – x 2

3. Aplicaciones de la integral definida
■ Piensa...