No Lo Se

Capítulo 3

Transformada de Laplace
3.1.

Introducción

En general, una transformada integral es una asociación de la función
Z
K (s, t)f (t) dt
F (s) =
A

con la función f para alguna función fija K llamada núcleo y algún rango fijo
A de integración. Tales operaciones son comunes en la física matemática. Así,
la transformada de Fourier es una transformada integral con núcleo
e−ist2π
Otra transformada integral común es la transformada de Laplace, con núcleo
K (s, t) =

K (s, t) = e−st
y rango (0, +∞). Las transformadas de Laplace tienen importantes aplicaciones
en matemática pura y aplicada. Por ejemplo, son importantes en los problemas
de valores iniciales que se refieren a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes ya que en términos de lastransformadas, los problemas pasan
a ser problemas algebraicos.
En esta sección introduciremos y estudiaremos primeramente la transformada de Laplace, desarrollando algunas de sus propiedades más básicas y útiles.
Después veremos su aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales.

3.2.

Definiciones y ejemplos

Dada la función f : [0, +∞) → R, consideremos la variable real s y lafunción F definida por
Z +∞
e−st f (t) dt
(3.1)
F (s) =
0

235

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

236

CAPÍTULO 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE

para todos aquellos valores de s para los que esta integral impropia es convergente. La función F definida por (8.2) se llama transformada de Laplace (o
L−transformada) de la función f . En general, denotaremos tanto por L(f )
como por L[f(t)] la transformada de Laplace de f . De este modo, podemos
escribir
Z
+∞

L[f (t)](s) =

e−st f (t) dt

0

El dominio de L(f ) es el conjunto de los valores de s ∈ R para los cuales existe
la integral impropia. Se llama abscisa de convergencia de L(f ) al número
real sc definido por
sc = inf dom L(f )
Ejemplo 99 Determinar L(f ), sabiendo que f (t) = 1, para todo t ≥ 0.
Solución:Aplicando la definición, para s > 0 se tiene
Z +∞
e−st dt
L[1](s) =
0
Zp
e−st dt
=
l´m
ı
p→+∞ 0
· −st ¸p
e
=
l´m −
ı
p→+∞
s0
¶
µ
1
1 e−sp
−
=
=
l´m
ı
p→+∞ s
s
s
Es claro que
y

dom L(f ) = (0, +∞)
sc = inf dom L(f ) = 0

Cuando s ≤ 0, la integral impropia es divergente.

Ejemplo 100 Calcular L(f ), sabiendo que f (t) = eat para todo t ≥ 0, donde a
es unaconstante arbitraria.
Solución: Aplicando la definición, para s > a se tiene
Z +∞
at
L[e ](s) =
e−st eat dt
0
Z +∞
=
e−(s−a)t dt
0
Zp
e−(s−a)t dt
=
l´m
ı
p→+∞

0

· −(s−a)t ¸p
e
=
l´m −
ı
p→+∞
s−a 0
¸
·
1
e−(s−a)p
1
−
=
=
l´m
ı
p→+∞ s − a
s−a
s−a

© Els autors, 2002; © Edicions UPC, 2002

3.3. CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA

237

Es claro que
dom L(f) = (a, +∞)
y
sc = inf dom L(f ) = a
Cuando s ≤ a, la integral impropia es divergente.

3.3.

Condiciones suficientes de existencia

La integral que define la transformada de Laplace no converge necesaria2
mente. Por ejemplo, L[1/t] ni L[et ] existen. Las condiciones suficientes que
garantizan la existencia de L[f (t)] son que f sea continua a trozos y que sea de
orden exponencial.3.3.1.

Continuidad a trozos

Definición 23 Una función f se dice que es continua a trozos en un intervalo [a, b] si f es continua en cada punto del intervalo salvo posiblemente en un
número finito de puntos en los que hay discontinuidad de salto, es decir, en cada
uno de estos puntos existen los límites laterales pero son distintos. Una función
f se dice continua a trozos en [0, +∞) si f escontinua a trozos en [0, b] para
todo b > 0.
Ejemplo 101 Probar que la función f definida por

si 0 ≤ x < 1
x
2
si 1 < x < 2
f (x) =

(x − 2)2 si 2 ≤ x

es continua a trozos en el intervalo [0, 3]. ¿Es continua a trozos en [0, +∞)?
Solución: Es claro que f es continua a trozos en [0, 3], pues f tiene sólo
dos puntos de dicontinuidad de salto en dicho intervalo. En efecto, en x = 1...