Nomenclatura
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Publicado: 28 de septiembre de 2009
Ecuación de segundo grado
[pic]
[pic]
Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y=o), si los hubiere, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece unaincógnita y que se expresa en la formacanónica:
[pic]
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en [pic] es de la forma:
[pic]
con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conocecomo ecuación bicuadrática.
La ecuación cuadrática es de gran importancia en matemáticas aplicadas, física e ingeniería, puesto que se aplica muy frecuentemente en la resolución de problemas.
|Contenido |
| [ocultar] |
|1 Historia|
|2 Clasificación |
|3 Solución general de la ecuación de segundo grado |
|3.1 Deducción de la fórmula general |
|3.2 Teorema de Cardano-Viète |
|4 Solución mediante cambio de variable |
|5 Véasetambién |
|6 Enlaces externos |
Historia [editar]
La ecuación de segundo grado y la solución tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia y Egipto.
En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría.
La solución de lasecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.
Clasificación [editar]
La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:
1.- Completa: Tiene la forma canónica:
[pic]
donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero.
Esta ecuación admite tres posibilidadespara las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número realdoble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante
[pic]
ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.
Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. La fórmula general se deduce másadelante.
2.- Incompleta pura: Es de la forma:
[pic]
donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuacióncuadrática incompleta de la forma:
[pic]
con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto, x = 0
3.- Incompleta mixta: Es de la forma:
[pic]
donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución ennúmeros complejos.
Solución general de la ecuación de segundo grado [editar]
La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:
[pic] ,
donde el símbolo "±" indica que los dos valores
|[pic] |y...
[pic]
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Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y=o), si los hubiere, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece unaincógnita y que se expresa en la formacanónica:
[pic]
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en [pic] es de la forma:
[pic]
con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conocecomo ecuación bicuadrática.
La ecuación cuadrática es de gran importancia en matemáticas aplicadas, física e ingeniería, puesto que se aplica muy frecuentemente en la resolución de problemas.
|Contenido |
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|1 Historia|
|2 Clasificación |
|3 Solución general de la ecuación de segundo grado |
|3.1 Deducción de la fórmula general |
|3.2 Teorema de Cardano-Viète |
|4 Solución mediante cambio de variable |
|5 Véasetambién |
|6 Enlaces externos |
Historia [editar]
La ecuación de segundo grado y la solución tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia y Egipto.
En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría.
La solución de lasecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.
Clasificación [editar]
La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:
1.- Completa: Tiene la forma canónica:
[pic]
donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero.
Esta ecuación admite tres posibilidadespara las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número realdoble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante
[pic]
ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.
Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. La fórmula general se deduce másadelante.
2.- Incompleta pura: Es de la forma:
[pic]
donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuacióncuadrática incompleta de la forma:
[pic]
con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto, x = 0
3.- Incompleta mixta: Es de la forma:
[pic]
donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución ennúmeros complejos.
Solución general de la ecuación de segundo grado [editar]
La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:
[pic] ,
donde el símbolo "±" indica que los dos valores
|[pic] |y...
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