Normal multivariada y regresión

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II Modelo de Regresión Lineal

Mahil Herrera M.

I.- Distribución Normal Multivariada

1.1 Resultados de Álgebra Lineal
Lema 1.1.1. A y B son dos matrices cuadradas con inversa cada una entonces (AB)-1=B-1A-1 Lema 1.1.2. a) tr(A+B)=tr(A)+tr(B) b) tr(AB)=tr(BA) siempre que AB y BA puedan efectuarse Lema 1.1.3.. Si una matriz A es simétrica entonces también lo es su inversa A-1. O sea,si A es simétrica, (A-1)t = A-1. Lema 1.1.4. a) |AB|=|A||B| 1 b)|A-1|= A

Lema 1.1.5. Las raíces característica de una matriz simétrica son reales. Lema 1.1.6. Las raíces características de A distintas de cero son igual al rango de A. Lema 1.1.7. Una matriz simétrica con raíces iguales a cero o a uno es una matriz idempotente. Lema 1.1.8 Si A + B = I y AB = 0, entonces A y B son idempotentes.Lema 1.1.8. Si A es idempotente y simétrica de rango r, existe una matriz ortogonal P tal que PtAP = Er donde Er es una matriz diagonal con r elementos iguales a uno y el resto a ceros. Lema 1.1.9. Si A es idempotente y simétrica de rango r entonces tr(A) = r. Lema 1.1.10 Si A es idempotente y simétrica y P es ortogonal PtAP es idempotente y simétrica.

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I Distribución Normal MultivariadaMahil Herrera M.

Definición 1.1.1. Si XtAX > 0 se dice que XtAX es definida positiva, para todo X ≠ 0 y A es positiva. Definición 1.1.2. Si XtAX ≥ 0 se dice que XtAX es semipositiva, para todo X ≠ 0 y A es semipositiva. Definición 1.1.3. Si A es positiva o semipositiva A es no negativa. Lema 1.1.11. La matriz A es positiva si, y sólo si todos los determinantes de sus matrices angulares sonpositivos. Lema 1.1.12. Si P es no singular PtAP es o no es definida positiva ( semi ) si A es o no lo es. Lema 1.1.13. Matrices definidas positivas son no singulares. Lema 1.1.14. Matrices semipositvas son singulares ( el caso contrario no siempre ocurre es decir una matriz singular no es siempre semipositiva. Lema 1.1.15. Las raíces de una matriz positiva ( semi ) son todas mayores que cero ( mayoro igual a cero). Lema 1.1.16. AAt es positiva cuando A es de rango completo por filas y semipositiva en cualquier otro caso. Lema 1.1.17. AtA es positiva cuando A tiene rango completo por columna y semipositiva en cualquier otro caso. Lema 1.1.18. Si A es simétrica de orden n y rango r puede escribirse como A = LLt, L es de n × r de rango r. Lema 1.1.19. Si A es simétrica, es positiva si, y sólosi puede escribirse como PPt con P no singular. Lema 1.1.20 (Lema de Loynes). Si B es simétrica e idempotente y Q es simétrica y no negativa y si I–B–Q es no negativa entonces BQ = QB = 0. Dermostración. Sea Y = BX para algún X, entonces Y t BY = Y t BBX = Y t BX = Y t Y y Y t (I – B – Q)Y = – Y t QY

Actuaría

Análisis de Regresión

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como I–B–Q es no negativa entonces Y t QY = 0, como Qes simétrica, Q = L Lt , Y t QY= Y t L Lt Y = 0 implica que Lt Y = 0 y entonces L Lt Y = 0, lo que es lo mismo QY = QBX = 0 como es para algún X, QB = 0 y así tenemos (QB)t = Bt Q t = BQ = 0 Teorema 1.1.1. Si Ai son matrices de n × n simétricas de rango ki, i = 1,…, p. Sea A =

∑A
i =1

p

i

, simétrica de rango k

Entonces las condiciones a) Ai es idempotente para todo i b) AiAj = 0para todo i ≠ j c) A es idempotente d) k =

∑k
i =1

p

i

I) Para alguna de las dos a), b) y c) implica a), b), c) y d). II) si c) y d) ⇒ a) y b) III)si c) y A1, A2, …, Ap –1 idempotentes con Ap no negativa implica Ap idempotente implica a) y por consiguiente b) y d). Demostración. I) Si se cumple a) y c) ⇒ b) Podemos observar que I–A es idempotente y por tanto no negativa y A–Ai–Aj = ∑A i
i ≠r ≠ j

p

r =1

por a) es no negativa I – A + A – Ai – Aj = I – Ai – Aj , entonces por Loynes AiAj = 0 para i ≠ j . I) Si se cumple b) y a) ⇒ c)
p p p ⎛ p ⎞ 2 AA = ⎜ ∑ A i ⎟ = ∑ A i + ∑ ∑ A i A j = i =1 i =1 j =1 ⎝ i =1 ⎠
i≠ j

2

∑A
i =1

p

2 i

=A.

I) Si se cumple b) y c) ⇒ a) Sea A1v = λv para todo λ ≠ 0, despejando v =
A 1v AAv , entonces Aiv = i 1 , i ≠ 1 λ λ...