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FUNCIONES LINEALES
Una función de la forma: f:  / f(x) = ax + b donde a y b son números reales, es una función lineal. Son ejemplos de funciones lineales:

f :   / f(x) 4x g :    / g( x ) h :    / h( x)  3


1 3

x 1

La gráfica de una función lineal es una recta de ecuación y = ax + b. Para las funciones f, g y h las respectivas gráficasson:

Para representar una función lineal es suficiente conocer dos puntos que pertenezcan a su gráfica. Ejemplo 1: Para representar la función f:   /f(x) = - 2x+3 elegimos dos elementos del dominio y buscamos su imagen.
 

x = 0 es f(0) = -2.0 + 3 = 3 3  3 3 x  es f  2.  0 3 2 2 2 

Como es


f(0) = 3, el punto (0; 3) pertenece al gráfico de la función.



3 3   f  0 , el punto  ; 0 pertenece al gráfico de la 2 2    función.

Los dos puntos determinan la recta de ecuación y = - 2x + 3 que es la gráfica de la función f.

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Ejemplo 2: En forma análoga, Para representar la función f:   /f(x) = 2x+3 elegimos dos elementos del dominio y buscamos su imagen. 

x = 0 es f(0) = 2.0 + 3 = 3 3 3  3  x  es f  2.    3 0  2 2  2 

Como es


f(0) = 3, el punto (0; 3) pertenece al gráfico de la función.



 3  3  f  0 , el punto  ; 0 pertenece al gráfico    2  2  de la función.

Los dos puntos determinan la recta de ecuación y = - 2x + 3 que es la gráfica de la función f.

Si observamos las dos gráficasdibujadas vemos que:


Las dos cortan al eje y en el punto de coordenadas (0; 3). A este punto se lo llama ordenada al origen. Las dos cortan al eje x. Ambas funciones presentan un cero.



Se llama ordenada al origen al valor que toma la función cuando x = 0  f(0) = b

•

•

• •

3 La primera x  2 3 La segunda en x  2
•

f(x) = 0 significa que ax + b = 0 b de donde x  . ab x  es el cero de la función a lineal.

• •

La primera decreciente. La segunda creciente.

función función

es es

siempre siempre Las funciones lineales de la forma f(x) = ax + b (a son siempre 0) crecientes o decrecientes.

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Otras expresiones de la función lineal

Las funciones queanalizamos son de la forma f(x) = ax + b (a Veremos ahora 0). otras expresiones de la función lineal. Funciones lineales de la forma f(x) = b • Surge de hacer a = 0 en la expresión f(x) = ax + b Por ejemplo: f(x) = 4 La gráfica de esta función es una recta paralela al eje de abscisas. Todos los puntos de la recta tienen la forma (x; 3). Estas rectas constantes. representan funciones

Funcioneslineales de la forma f(x) = ax; (a 0). Sus gráficas son rectas que pasan por el origen de coordenadas. El punto (0; 0) pertenece a cualquiera de ellas. Si en f(x) = ax; hacemos a = 2, resulta f(x) = 2x

Si en f(x) = ax; hacemos a = 1, resulta f(x) = x Esta función recibe el nombre de función identidad.

Si en f(x) = ax; hacemos a = - 2, resulta f(x) = -2 x

Observamos que al variar el valor de laconstante a varía la inclinación de las rectas. Denominamos pendiente a la constante a. • • Si a > 0 la función es creciente. Si a < 0 la función es decreciente.
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La pendiente a nos indica el aumento que experimenta y cuando x aumenta una unidad. Consideremos nuevamente la función f(x) = 2x. Los puntos (1; 2)y (2; 4) pertenecen a la gráfica de f Cuando x aumenta 1 unidad; y aumenta 2 unidades.

Lo mismo ocurre en las funciones de la forma f(x) = ax + b (b 0) Consideremos la función f(x) = 3x + 1 y su gráfica. Los puntos (0; 1) y (1; 4) pertenecen a la gráfica. Cuando x aumenta una unidad, y aumenta tres unidades.

Esta es una propiedad de las funciones lineales. La pendiente a nos indica...