Notacion factorial

1) Notación Factorial: Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde 1 hasta n:
Que de un modo resumido, se puede expresar como:
Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemáticofrancés Christian Kramp.
Por ejemplo, 5! = 5·4·3·2·1 = 120
1.1) Factorial de un entero Positivo: El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos los números naturales anteriores o iguales a él. Se escribe n!, y se lee "n factorial". (Por definición el factorial de 0 es 1: 0!=1)
2) Variaciones: Se parte de un conjunto de m elementos prescindiendo de sunaturaleza.
- Los elementos de tal conjunto lo podemos ordenar de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres,......, de n en n
- Se pueden tomar todos los elementos del conjunto a la vez, en ese caso n = m
- Se adopta el convenio de que una ordenación se distingue de otra en algún elemento o teniendo los mismos elementos en su orden de colocación.
Ejercicio:
* ¿Cuántos números de trescifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?
m = 5     n = 3
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
Sí se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

2.1) Propiedades de las Variaciones.
Existe dos tipos: variaciones sin repetición y variaciones con repetición, cuyossímbolos son los siguientes.


* Variaciones sin Repetición
Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si estánsituados en distinto orden.
El número total de variaciones de este tipo viene dado por la fórmula VRm,n = mn
Ejercicio:
* ¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?
Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse.
Por tanto, se pueden formar 504 números:  
*Variaciones con Repetición
Sea A un conjunto con m elementos. Llamamos variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m a todas a las agrupaciones que podemos hacer con m elementos de A independientemente de que se repita alguno.
El número de variaciones con repetición viene dado por:
Se consideran grupos distintos aquellos con los mismos elementos en distinto orden.
Cualquierelemento se puede repetir.
Observación: En el caso de variaciones sin repetición los grupos que podíamos formar eran inferiores al total de elementos. Ahora podemos tomar conjuntos con más elementos ya que podemos repetir.
Ejercicio:
* ¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?
Al  tratarse de números el orden importa y además nodice nada sobre "cifras distintas" luego si pueden repetirse.
Por tanto, se pueden formar 729 números:  

3) Combinaciones: Llamaremos combinaciones de m elementos tomados de n en n, (simbolizadas por Cm,n) a todos los subconjuntos de n elementos que se pueden formar en un conjunto de m elementos.
Por su propia definición se deduce que el orden no interviene para distinguir unas combinacionesde otras.

El número total de combinaciones viene dado por la fórmula:

Ejercicio:
* De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.

 
3.1) Propiedades de las Combinaciones.
Reciben el nombre de Combinaciones sin repetición y combinaciones...