notas identificación

Modelos param´tricos utilizados en identificaci´n.
e
o
Prof. Carlos Felipe Rengifo.
7 de marzo de 2013

Resumen
El objetivo de esta guia es familiarizar al estudiante con los modelos param´tricos lineales coe
munmente utilizados en identificaci´n de sistemas, as´ como con las funciones disponibles en Matlab
o
ı
para introducir estos modelos en diferentes formatos.

1.

Aspectoste´ricos.
o

Una familia de modelos conmunmente utilizada en identificaci´n tiene la estructura que se muestra en
o
la figura 1, dichos modelos se componen de una parte determin´
ıstica y de una parte estoc´stica, esta
a
ultima representa los disturbios que afectan al sistema.
´
La se˜al de salida y(k) de la figura 1 involucra una componente determin´
n
ıstica G(q)u(k) y una estoc´stica v(k).a
y(k) = G(q)u(k) + v(k)

(1)

Los disturbios se representan como la salida de un sistema lineal afectado por una se˜al de ruido blanco
n
e(k), talque v(k) = H(q)e(k). G(q) y H(q) son funciones de transferencia de tiempo discreto. En la
ecuaci´n 2 se muestra el modelo (Ec.1) en t´rminos de polinomios en el operador q.
o
e
A(q)y(k) =

C(q)
B(q)
u(k) +
e(k)
F (q)
D(q)

(2)

Lospolinomios A(q), B(q), C(q), D(q), F (q) se suponen de la forma mostrada en la ecuaci´n 3.
o

e(k)

Modelo de
Ruido

H(q)
v(k)

u(k)

y(k)

G(q)

Figura 1: Componentes de un modelo param´trico.
e

1

A(q) = 1 + a1 q −1 + a2 q −2 + · · · + ana q −na
B(q) = b1 q −1 + b2 q −2 + · · · + bnb q −nb
C(q) = 1 + c1 q −1 + c2 q −2 + · · · + cnc q −nc

(3)

D(q) = 1 + d1 q −1 +d2 q −2 + · · · + dnd q −nd
F (q) = 1 + f1 q −1 + f2 q −2 + · · · + fnf q −nf
Como se mostrar´ a continuaci´n las estructuras FIR (Finite Impulse Response), ARX (Auto-Regresive
a
o
with eXternal input), ARMAX (Auto-Regresive Moving Average with eXternal input), OE (Output
Error),BJ (Box and Jenkins) son casos especiales de (Ec.2).
FIR : Respuesta al impulso finita.
y(k) = B(q)u(k) + e(k)(4)

Ejemplo 1 : En la ecuaci´n 5 se muestra un modelo FIR de cuarto orden. En la ecuaci´n 6 se
o
o
muestra el mismo modelo pero como una ecuaci´n de diferencias.
o

y(k) = (0.8q −1 + 0.5q −2 + 0.3q −3 + 0.01q −4 )u(k) + e(k)

(5)

y(k) = 0.8u(k − 1) + 0.5u(k − 2) + 0.3u(k − 3) + 0.01u(k − 4) + e(k)

(6)

ARX : Autoregresivo con entrada externa.
A(q)y(k) = B(q)u(k) + e(k)

(7)Ejemplo 2 : En la ecuaci´n 8 se muestra un modelo ARX de tercer orden. En la ecuaci´n 9 se
o
o
muestra el mismo modelo pero como una ecuaci´n de diferencias.
o

(1 − 0.2q −1 + 0.5q −2 − 2.2q −3 )y(k) = (q −1 + 0.3q −2 )u(k) + e(k)

(8)

y(k) = 0.2y(k − 1) − 0.5y(k − 2) + 2.2y(k − 3) + u(k − 1) + 0.3u(k − 2) + e(k)

(9)

ARMAX : Autoregresivo de media movil con entrada externa.A(q)y(k) = B(q)u(k) + C(q)e(k)

(10)

Ejemplo 3 : En la ecuaci´n 11 se muestra un modelo ARMAX de tercer orden. En la ecuao
ci´n 12 se muestra el mismo modelo pero como una ecuaci´n de diferencias.
o
o

(1 − 0.2q −1 + 0.5q −2 − 2.2q −3 )y(k) = (q −1 + 0.3q −2 )u(k) + (1 + 0.28q −1 − 0.3q −2 )e(k)

y(k) = 0.2y(k − 1) − 0.5y(k − 1) + 2.2y(k − 3) + u(k − 1)
+ 0.3u(k − 2) + e(k) + 0.28e(k −1) − 0.3e(k − 2)
2

(11)

(12)

OE : Error salida.
y(k) =

B(q)
u(k) + e(k)
F (q)

(13)

Ejemplo 4 : En la ecuaci´n 14 se muestra un modelo OE de tercer orden. En la ecuaci´n 15
o
o
se muestra el mismo modelo pero como una ecuaci´n de diferencias.
o

y(k) =

q −1 + 0.3q −2
u(k) + e(k)
1 − 0.2q −1 + 0.5q −2 − 2.2q −3

y(k) = 0.2y(k − 1) − 0.5y(k − 1) + 2.2y(k − 3) + u(k− 1)
+ 0.3u(k − 2) + e(k) − 0.2e(k − 1) + 0.5e(k − 2) − 2.2e(k − 3)

(14)

(15)

BJ : Modelo de Box y Jenkins.
y(k) =

B(q)
C(q)
u(k) +
e(k)
F (q)
D(q)

(16)

Ejemplo 5 : En la ecuaci´n 17 se muestra un modelo BJ de primer orden. En la ecuaci´n 20
o
o
se muestra el mismo modelo pero como una ecuaci´n de diferencias.
o

y(k) =

1
q −1
u(k) +
e(k)
−1
1 − 0.2q
1 −...