Noticias

El Teorema de Taylor fue enunciado por Brook Taylor en 1712, y permite aproximar una función en un entorno de un punto donde la función sea diferenciable por aproximaciones polinómicas.
Si n ≥ 0 esun entero y f una función que es derivable n veces en el intervalo cerrado [a,x] y n+1 veces en el intervalo abierto (a,x), entonces se cumple que:

Donde  denota el resto de de aproximar f por elpolinomio depende de x y es pequeño si x está próximo al punto a.
 y  es un número entre a y x.
En general si la (n+1) derivada de f está acotada por una constante M en el intervalo (a,b) que semenciona en el teorema de Taylor, es decir, si
 para todo x en (a,b)
entonces 
Cuando n crece indefinidamente entonces 
Para algunas funciones se puede probar que el resto se aproxima a cero cuando ntiende a infinito. Dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor del punto a y se llaman funciones analíticas.
En el caso a=0 tenemos  y a estaexpresión la llamamos fórmula de Mac Laurin.
POLINOMIO DE TAYLOR

Consiste en aproximar un polinomio f(x) en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) (d, amplitud, representa el conjunto devalores muy próximos que se toma alrededor de a ) mediante un polinomio de grado prefijado.

Rn(x)es el resto probable de la serie cuya fórmula para su cálculo es:

Donde z es un número entre a y x.( Se llama residuo después de n +1 términos.)

La serie de Taylor se rebautizará "serie de Maclaurin" para x = 0
Fórmulas y series de Taylor de funciones elementales
f(x) = ex esta funciónpuede derivarse infinitamente ( derivadas de cualquier orden)
Desarrollemos Taylor para a = 0 ( a en este caso vale cero )

f(0) = e0 = 1, f’(0) = e0 = 1, f"(0) = e0 = 1, .... f n(0) = e0 =1, f n+1(z) = ez (0 < z < x)

P(x) = 1 + ... + 
 . . . 
Calculemos ex para x = 1 hasta n = 6 ( grado 6º ) así tenemos:

Para hallar el error utilizaremos el resto, Rn = 
Tengamos en cuenta que...