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EL CONCEPTO DE NÚMERO EN LOS FUNDAMENTOS DE LA ARITMÉTICA DE GOTTLOB FREGE

Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Filosofía
Iván D. González C.

Uno de los capítulos más complejos de Die Grundlagen der Arithmetik (Los fundamentos de la aritmética) de Frege es el dedicado a la definición de número, que Frege implementa en tres estadios: la definición de número cardinal, ladefinición de número natural y la prueba de la inducción matemática. Estos tres pasos constituyen un intento por implementar procedimientos en los cuales las únicas nociones indefinidas son las nociones de la lógica formal, que permitirían reducir la aritmética a la lógica. Esta reducción significaría no sólo una simplificación evidente del lenguaje aritmético requerido, sino que constituiría un logroepistemológico notable: si la aritmética fuera reducible a la lógica, el estudio de la aritmética se reduciría al estudio de ciertos principios lógicos básicos, que justificarían la aritmética, tanto como lo hiciera posible la evidencia de tales principios.
Las definiciones de número de Leibniz y Mill consideran los números como adiciones de 1. Esta formulación es insatisfactoria para Frege, puesserá incompleta, hasta tanto no se defina 0, 1 y la adición de 1. Lo que hay que tener en cuenta para definir 0 y 1 es que no podemos afirmar de algún objeto ningún número, pues un número no es una propiedad de una cosa; y una razón para considerar que un número no es una propiedad de cosas es que ‘0’ no puede aplicarse a objetos, sino sólo a conceptos. Una vez concedido que “... una asignaciónde número contiene una afirmación sobre un concepto ...” (Frege, 1996, §55), las definiciones de 0 y 1 podrían formularse diciendo que a un concepto F le corresponde 0, si para todo a, a no cae bajo F, e indicando que, a un concepto F, le corresponde 1, si existe un a tal, que a cae bajo F, y para el cual, si a cae bajo F y b cae bajo F, a=b.
Las definiciones de 0 y 1 permiten intentar definirel paso de un número al siguiente mediante la formulación: “... al concepto F le corresponde el número (n+1) cuando existe un objeto a que cae bajo F y tal que al concepto «que cae bajo F, pero no a», le corresponde el número n” (Frege, 1996, §55).
El problema de estas definiciones sería que no permitirían decidir si a un concepto F le corresponde un número Julio Cesar, ni si Julio Cesar es ono un número. Tampoco permitiría demostrar que a=b, si al concepto F le correspondieran números a y b, pues se ha definido cada número natural en enunciados como “el número n corresponde al concepto F”, y no en ecuaciones, que constituyen la forma frecuente de los teoremas matemáticos. Si nunca se pudiera concebir un número determinado, porque no podemos determinar para qué casos a=b, la expresión‘el número que corresponde al concepto F’ no podría justificarse y, en consecuencia, sólo se habría estipulado el sentido de las expresiones ‘el número 0 corresponde a’ y ‘el número 1 corresponde a’; pero no se habría distinguido el 0 y el 1 como objetos independientes (Frege, 1996, §55).
Frege nos recuerda que los números son objetos independientes y no propiedades de estos, porque, cuando seafirma que al concepto F le corresponde el número 0, 0 es sólo una parte del predicado, siempre que F sea el sujeto real.
Todas estas consideraciones parecen atender cuidadosamente los tres principios fundamentales formulados por Frege en sus Fundamentos:

(i) que hay que separar lo lógico de lo psicológico,
(ii) que el significado de las palabras debe ser buscado en el contexto de un enunciado y(iii) que hay que diferenciar concepto de objeto (Frege, 1996, 38).

Frege dice: “Cada uno de los números aparece como objeto autónomo, precisamente porque constituye una parte de la afirmación” (Frege, 1996, §57). Esto es lo que se encuentra implícito en la expresión ‘el 1’, donde el artículo determinado ‘el’ caracteriza a 1 como objeto. En cualquier caso, toda forma atributiva de números,...