Operadores

OPERADORES

Si f ∈ C n (I ) y a ∈ ℜ entonces:

1. Dn (eax f (x)) = eax (D + a)nf (x)

2. Dn (eax ) = eax an
#|R{ze}al

Demostraci´on .
Veamos 1. Por inducci´on:

n = 1 D(eax f (x)) = eaxDf (x) + f (x)aeax = eax(D + a)f (x) Supongamos que se cumple para n = k:
Dk (eax f (x)) = eax (D + a)k f (x)

y veamos que se cumple para n = k + 1.En efecto, teniendo en cuenta las hip´otesis de inducci´on para n = 1 y para n = k, se tiene

Dk+1(eax f (x)) = Dk D(eaxf (x)) = Dk (eax(D + a)f (x))
= eax(D + a)k (D + a)f (x) = eax (D + a)k+1f (x) Veamos 2. Por inducci´on:
n = 1 D(eax ) = aeax

Supongamos que se cumple para n = k:

Dk (eax ) = ak eax

y veamos que se cumplepara n = k + 1. En efecto, teniendo en cuenta las hip´otesis de inducci´on para n = 1 y para n = k, se tiene

Dk+1(eax ) = Dk D(eax) = Dk (aeax)
= a(Dk eax ) = a(ak eax) = ak+1eax

El siguiente Teorema, llamado teorema b´asico de los operadores, nos permite sacar una exponencial que esta dentro de un operador.

Teorema B´asico de Operadores1. Si f ∈ C n (I ) y L(D) es un operador diferencial lineal y a ∈ ℜ, entonces:
L(D)(eaxf (x)) = eaxL(D + a)f (x)

2. L(D)eax = L(a)eax

Demostraci´on 1:

L(D)(eaxf (x)) = (an (x)Dn + an

1(x)Dn−1 + . . . + a (x)D + a (x)D0 )(eaxf (x)) =
− 1 0
= an (x)Dn (eaxf (x)) + an
1(x)Dn−1(eax f (x)) + . . . + a (x)D(eax f (x)) + a (x)eaxf(x)
− 1 0
= an (x)eax(D + a)n f (x) + an
+ a0 (x)eaxf (x)
1(x)eax(D + a)n−1f (x) + . . . + a1(x)eax (D + a)f (x)
= eax(an (x)(D + a)n + an
1 (x)(D + a)n−1 + . . . + a (x)(D + a) + a (x))f (x)
− 1 0
= eaxL(D + a)f (x)

Nota: para entrar una expresi´on exponencial dentro de un operador, utili- zamos la siguienteexpresi´on,

eax L(D)f (x) = L(D − a)(eaxf (x)) (4.11)

Ejemplo Comprobar que (D + 2)(D − 2)3 (x2 e2x) = 0
Soluci´on:

(D + 2)(D − 2)3(x2e2x ) = e2x(D + 2 + 2)(D + 2 − 2)3x2 = e2x (D + 4)D3x2 = 0

Ejemplo Comprobar que (D − 3)n (e3x xn ) = n!e3x
Soluci´on:

(D − 3)n (e3xxn ) = e3x(D + 3 − 3)n xn = e3xDn xn = n!e3x

Ejemplo Entrar laexponencial dentro del operador: e−3x(D −1)(D −3)x
Soluci´on:

e−3x(D − 1)(D − 3)x = (D − (−3) − 1)(D − (−3) − 3)(e−3xx)
= (D + 2)D(e−3xx)

ME´ TODO DE LOS OPERADORES IN- VERSOS

Dada la E.D. L(D)y = f (x), donde L(D) es un operador diferencial li- neal de coeficientes constantes y f (x) es un polinomio o exponencial o seno o coseno o sumasfinitas de productos finitos de las anteriores, es conveniente resolver la E.D. por el m´etodo de los operadores inversos (este m´etodo es sustituto del m´etodo de coeficientes indeterminados), ´este m´etodo tambi´en sirve para resolver integrales.

Definicio´n 4.6 Dada la E.D. L(D)y = f (x) de coeficientes constantes, definimos el operador inverso L−1(D) = 1 , como eloperador tal que: L−1(D)f (x) es una soluci´on particular de la E.D., es decir, yp = L−1 (D)f (x).

Nota:

1. L(D)L−1 (D) = operador identidad y L−1 (D)L(D) = operador identi- dad.

2. Soluci´on general: y = yh + yp = yh + L−1(D)f (x)

Si y1 y y2 son soluciones particulares de la E.D. L(D)y = f (x), entonces
estas dos soluciones difieren en una soluci´on que est´a en elnu´cleo de L(D).

Demostraci´on: sea y = y1 − y2 , veamos que y pertenece al nu´cleo de
L(D).
En efecto

L(D)y = L(D)(y1 − y2 ) = L(D)y1 − L(D)y2 = f (x) − f (x) = 0 luego y pertenece al nu´cleo de L(D)

Si L(D) = Dn y h(x) es una funci´on continua, entonces una soluci´on parti-
cular de la ecuaci´on diferencial:
Z Z
Dn y = h(x) es yp =
Z
. . .

h(x) dx dx ....