Optimizacion

I.-Encuentren los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones, utilizando Test Hessiano
[pic]
ii) z = x3 y2 (2 - x – y)
En primer lugar determinamos las derivadas parciales primeras dela función z(x , y):
[pic]
Las igualamos a 0 y resolvemos el sistema resultante:
[pic]
Tenemos un solo punto, el P (1, 2/3) que puede ser extremo, hagamos ahora como en clases, el estudio de estepunto por medio del hessiano:
 Para hallar las derivadas segundas, tenemos que las primeras son:
[pic]
Por lo tanto,
[pic]
     Para este punto P (1, 2/3) tenemos:
      [pic][pic]     [pic]
  Al ser el hessiano negativo no hay extremo en P(1, 2/3).
   iv) [pic]     Hacemos las primeras derivadas de esta función:
[pic] Al igualarlas a 0, obtenemos un sistema que es simétrico  (la función z(x,y) presenta simetría  x=y):
[pic] [pic]Por lo tanto hay un único punto que cumple la condición de extremo, [pic]. Estudiemos el hessiano para este punto:
[pic]       [pic]  [pic][pic]

Al ser el hessiano positivo: Hay extremo en P, hay un mínimo local.
 v) z = sin x + sin x + sin (x + y)
En primer lugar hallamos las derivadas primeras
[pic],  [pic]
Ahoralas igualamos a 0, y resolvemos el sistema  (teniendo en cuenta la simetría de la función):
[pic]
Es decir, cos x + cos2 x - sen2 x = 0 ( cos x + cos2 x- (1- cos2 x)=0
2 cos2 x + cos x - 1 = 0   Por lo tanto: [pic]
 es decir: cos x = - 1( x = π,      cos x =  1/2  -->  x = π /3, 
 Por lo tanto, los puntos que cumplen la condición necesaria para ser extremo son P1(π/3,π/3), P2(π,π) . Paracada uno de estos puntos hacemos un estudio del hessiano:
  [pic]
  *  P1(π/3,π/3) :
[pic]      [pic]
 El hessiano es positivo. por tanto hay extremo; se trata de un máximo local.
  * ...