Orbitas Gravitatorias

Capítulo 5

Fuerzas centrales y órbitas
gravitatorias
En este capítulo empezaremos a tratar sistemas dinámicos de varias
partículas, comenzando por los más sencillos: aquellos que están constituidos
por dos cuerpos o a lo sumo tres, sometidos a fuerzas internas centrales.
Como aplicación importante surge el movimiento en órbitas gravitatorias,
aspecto que históricamente ha jugado un papelcentral en el desarrollo de
la mecánica, y continúa siendo relevante en la actualidad con el progreso de
la tecnología espacial.
Admitiremos las siguientes hipótesis simplificadoras a lo largo de este
capítulo.
1. Se puede despreciar el efecto del resto de los cuerpos del universo
por su lejanía. Así, nuestro estudio se limitará a dos cuerpos (sistema
binario) o tres cuerpos (sistematernario).
2. Es válido idealizar los cuerpos como partículas puntuales. Es posible
demostrar que, para el caso de esferas homogéneas en campos gravitatorios, el efecto es equivalente al de toda la masa concentrada en
el centro, independientemente del tamaño. Sin embargo, en un caso
real en que los cuerpos no sean exactamente esféricos se cometerá un
pequeño error.

5.1.

Reducción del sistemabinario

Sea un sistema binario aislado, formado por dos cuerpos de masas m0
y m1 , sometidos únicamente a las fuerzas internas ejercidas entre ellos,
5.1

5.2

Capítulo 5. FUERZAS CENTRALES Y ÓRBITAS GRAVITATORIAS

descritos en una referencia inercial (I ) por sus vectores de posición r 0 y
r 1 respectivamente.

m1

‰
ur
1 r rr
#
£
£

£
 
 
 
 
 I
 

£

rr r r
jrr
r
£ F 10
rr
‰
rr
£
F 01 rrrxm0
r
£ r1
X
r0
£

0

Figura 5.1: Sistema binario
aislado formado por dos cuerpos de masas m0 y m1 .

Las ecuaciones del movimiento son:
¨
m0 r 0 = F 01 = −F 10

¨
m1 r 1 = F 10 ;

(5.1)

donde F 10 es la fuerza ejercida sobre m1 por m0 , y viceversa. Sumando las
dos ecuaciones se obtiene
¨
¨
m1 r 1 + m0 r 0 = 0.

(5.2)

Definimosel centro de masa por:
def

rG =

m1 r 1 + m0 r 0
m1 + m0

(5.3)

¨
cumpliéndose entonces, en virtud de (5.2), r G = 0: el centro de masa se
mueve con velocidad rectilínea y uniforme. Buscaremos entonces la ecuación
de la dinámica para el movimiento relativo; definiendo
def

r = r1 − r0 ,

(5.4)

mediante las ecuaciones (5.1) se llega a
¨
r=

1
1
m0 + m1
F 10 −
F 01 =
F10 .
m1
m0
m0 m1

(5.5)

Aptdo. 5.1. Reducción del sistema binario

5.3

def

m
El cociente µ = m00 m11 se denomina masa reducida, y permite interpretar
+m
el movimiento relativo de m1 respecto de m0 expresado por (5.5), para una
fuerza dada, como si su masa tuviese este valor µ.
Conviene observar que la ecuación (5.5) expresa la dinámica en un sistema de referencia no inercial(R), con origen en m0 y ejes paralelos al inercial
I . Por este motivo, sería incorrecto establecer la ecuación fundamental de
la dinámica directamente empleando la aceleración relativa a este sistema.
Sin embargo, el resultado obtenido permite reducir el movimiento relativo
en el sistema binario, pudiendo estudiarse como si fuera inercial, es decir,
como si la masa m0 fuese fija, sin más quecambiar m1 por la masa reducida
µ.

m1
r




r

r1

 
 I
 

 

Is
 
O
r0  
 
 

m0
R

Figura 5.2: Sistema binario; referencias inercial I
y relativa a m0 (no inercial), R.

Otro resultado interesante se puede obtener al expresar la energía ciné1
˙1 2
˙0
tica T = 2 m1 r 2 + 1 m0 r 2 eliminando r 1 y r 0 en función de r G y r :
r1 = rG +

µ
r;
m1

r0 = rG−

µ
r
m0

resultando finalmente
1
1
˙G
˙
T = (m0 + m1 )r 2 + µr 2 .
2
2
Esta expresión descompone la energía cinética en dos términos, uno correspondiente al movimiento del centro de masas, caracterizado por la masa
total (m0 + m1 ), y otro del movimiento relativo caracterizado por la masa
reducida µ1 .
1

Esta expresión resulta ser la aplicación a este caso del Teorema de...