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Interpolaci´n y aproximaciones polin´micas
o
o
Oldemar Rodr´
ıguez Rojas
Octubre 2008

ii

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Contents
1 Interpolaci´n y aproximaciones polin´micas
o
o
1
Polinomios de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Existencia y unicidad del polinomio de interpolaci´n
o
3
Interpolaci´n de Lagrange . .. . . . . . . . . . . . .
o
3.1
Estudio del error . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Interpolaci´n Iterada . . . . . . . . . . . . . .
o
3.3
M´todo de Neville . . . . . . . . . . . . . . .
e
3.4
Diferencias divididas de Newton . . . . . . .
4
Interpolaci´n de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . .
o
4.1
Algoritmo para el polinomio de Hermite . . .
5
Interpolaci´n por SplinesC´bicos . . . . . . . . . . .
o
u
5.1
Presentaci´n geom´trica . . . . . . . . . . . .
o
e
5.2
Presentaci´n algoritmica . . . . . . . . . . . .
o

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v
v
vi
vii
viii
x
xi
xv
xvi
xxiii
xxv
xxv
xxix

iv

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Interpolaci´n y aproximaciones
o
polin´micas
o
1 Polinomios de Bernstein
Teorema 1 [Weierstrass] Sea f continua en [a, b]; entonces dado ε > 0,
existe n ∈ N y Pn (x) ∈ Pn tal que
|f (x) − Pn (x)| < ε,

∀x ∈ [a, b]

Prueba Sin perdida de generalidad suponga que a = 0 y b = 1.
Sea:
n

Bn (x) =
k=0

n k
x (1 − x)n−k f
k

k
n

se puede probar que Bn (x) → f (x)uniformemente en [0, 1] (ejercicio).
Ejemplo 1 Sea f (x) = ex , en [0, 1], entonces

2

B2 (x)

=
k=0

=
=

k
2 k
x (1 − x)2−k e 2
k

1
2 0
2 1
2 2
x (1 − x)2 e0 +
x (1 − x)1 e 2 +
x (1 − x)0 e1
0
1
2
1

(1 − x)2 + 2x(1 − x)e 2 + x2 e

En Mathematica el polinomio de Bernstein se puede programar como
sigue:
n

Binomial[n, k]xk (1 − x)n−k F[k/n]

Bernstein[n ,F ] :=
k=0

Gr´ficamente en Mathematica
a

vi

1. Interpolaci´n y aproximaciones polin´micas
o
o

FIGURE 1. El m´todo de aproximaciones sucesivas.
e

Observaci´n 1 El polinomio de Bernstein tiene solo valor te´rico y no
o
o
pr´ctico.
a

2 Existencia y unicidad del polinomio de
interpolaci´n
o
Problema: Sean (xi , yi ), para i = 0, 1, 2, . . . , n, n + 1 puntos (nodos), sebusca un polinomio de grado n
Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
tal que satisfaga las condiciones de interpolaci´n:
o
Pn (xi ) = yi

i = 0, 1, 2, . . . , n

(1.1)

Teorema 2 Sean (xi , yi ) n + 1 puntos, con i = 0, 1, 2, . . . , n, tal que xi =
xj , ∀ i = j, entonces existe un unico polinomio (de interpolaci´n) que
´
o
satisface la condici´n 1.1, el cual tiene a lo m´s gradon.
o
a
Prueba
Existencia:
Sea
n

Li (x) :=

(x − xj )
(x − x0 ) · · · (x − xi−1 )(x − xi+1 ) · · · (x − xn )
=
(xi − xj )
(xi − x0 ) · · · (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) · · · (xi − xn )
j=0
j=i

1. Interpolaci´n y aproximaciones polin´micas
o
o

vii

Note que:
1 si i = k
= δ ik .
0 si i = k

Li (xk ) =
Entonces el polinomio

n

Pn (x) :=

yi Li (x),
i=0

tienela propiedad de interpolaci´n, pues
o
n

Pn (xk ) :=

n

yi Li (xk ) =
i=0

yi δ ik = yk , para k = 0, 1, . . . , n.
i=0

Adem´s el grado de Pn (x) es menor o igual a n, pues es combinaci´n lineal
a
o
de polinomios de grado n.
Unicidad:
Sean Pn (x) y Qn (x) dos polinomios de grado n que satisfacen las condiciones de interpolaci´n,
o
Pn (xk ) = Qn (xk ) = yk , k = 0, 1, . . . ,n
Sea D(x) := Pn (x) − Qn (x), note que D(x) es un polinomio de grado a lo
m´s n y tiene n + 1 ra´ x0 , x1 , . . . , xn , por lo que de acuerdo al Teorema
a
ıces
fundamental del algebra, se tiene que D(x) ≡ 0 ⇒ Pn (x) − Qn (x) = 0 ⇒
Pn (x) = Qn (x).

3 Interpolaci´n de Lagrange
o
Definici´n 1 El polinomio
o
n

Pn (x) =

yi Li (x),
i=0

con yi = f (xi ) y Lni (x) definido por:...