PAU Madrid. Matematicas II. A~no 2002. Examen modelo.

PAU Madrid. Matem´aticas II. A˜
no 2002. Examen modelo.
Opci´on A. Ejercicio 4. Valor: 3 puntos.

Dada la par´abola y = 4 − x2 , se considera el tri´angulo rect´angulo T (r) formado por los
ejescoordenados y la tangente a la par´abola en el punto de abscisa x = r > 0.
a) (2 puntos) Hallar r para que T (r) tenga a´rea m´ınima.
b) (1 punto) Calcular el ´area de la regi´on delimitada por lapar´abola, su tangente en el
punto de abscisa x = 1, y el eje vertical.

a) Necesitamos la ecuaci´on de la recta t, tangente a la gr´afica de la par´abola en el punto de
abscisa r. La ordenada delpunto de contacto es y = 4 − r2 . La pendiente es yx=r :
y = 4 − x2 ⇒ y = −2x ⇒ yx=r = −2r
Por tanto la ecuaci´on de t es y − (4 − r2 ) = −2r(x − r)
Cortando la recta t con los dos ejes decoordenadas calculamos las longitudes de los catetos
del tri´angulo rect´angulo T (r), que llamaremos xr e yr :
(xr , 0) ∈ t ⇒ −(4 − r2 ) = −2r(xr − r) ⇒

2 r
4 − r2
= xr − r ⇒ xr = +
2r
r 2

(0,yr ) ∈ t ⇒ yr − (4 − r2 ) = −2r(−r) ⇒ yr = r2 + 4
La superficie del tri´angulo T (r) es
1
1
S(r) = xr yr =
2
2

2 r
+
r 2

r2 + 4 =

1
2

2r +

8 r3
+
+ 2r
r
2

=

1
4

r3+ 8r +

16
r

Calculamos el m´ınimo de S(r) resolviendo la ecuaci´on S (r) = 0:
1
S (r) =
4

16
3r + 8 − 2
r
2

4

2

= 0 ⇒ 3r + 8r − 16 = 0 ⇒ r =

√
−8 ± 16
−8 ± 256
=
=
=6
6

8
6
−24
6

=

4
3

−4

Como se pide r > 0, la u
´nica posibilidad es r =
S(r) tiene un m´ınimo para ese valor:
S (r) =

Soluci´on

1
4

6r +

r = 1.155

32
r3

⇒S2

2
√
3

⇒r=
4
3

=

√2 .
3

−8 ±

√
64 + 12 · 16
=
6

± 43
√
± −4 → sin soluci´on
Comprobamos que la funci´on

2
> 0 ⇒ S tiene un m´ınimo en √ = 1.155
3

b)Necesitamos la ecuaci´on de la recta t, tangente a la gr´afica de la par´abola en el punto de
abscisa 1.
La ordenada del punto de contacto es y = 4 − 12 = 3.
La pendiente es yx=1 = −2.
Por tanto la...