Pau Mate01sp

Oficina de Coordinació i d'Organització de les PAU de Catalunya
Pàgina 1 de 4
PAU 2001
Pautes de correcció
LOGSE: Matemàtiques

`
SERIE
4
Avalueu cada pregunta en punts i mitjos punts, per`
o no en altres decimals (ara b´e, dins de cada
pregunta podeu utilitzar altres decimals per als diferents apartats i despr´es arrodonir la suma).
Aquestes pautes no pretenen planificar tots els casos que en lapr`
actica es poden presentar.
Hi haur`
a molts casos concrets, doncs, en qu`e ser`
a dif´ıcil aplicar els criteris que s’exposen a
continuaci´
o. Apliqueu-los en els casos clars. En els casos en qu`e les pautes siguin de dif´ıcil
aplicaci´
o, feu prevaler sempre el vostre criteri i sentit com´
u.

Q¨
uestions
1. Determineu per a quins valors del par`
ametre a el pla π : ax + 2y + z = a ´esparal.lel
x − ay + z = 1
a la recta r :
ax + z = a + 1
Si considerem el sistema d’equacions que t´e per equacions les del pla π i la recta r
ax + 2y + z = a
x − ay + z = 1

ax + z = a + 1

la recta r ´es paral.lela al pla π per als valors de a pels quals el sistema ´es incompatible. El determinant de la matriu de coeficients d’aquest sistema val 2a − 2, que
s’anul.la per a a = 1. Quan a = 1 el sistema´es compatible determinat, mentre
que quan a = 1 resulta el sistema incompatible. Per tant, a = 1 ´es l’´
unic cas per
.
al que la recta i el pla s´
on paral lels.
Valoreu si es coneix la condici´
o de paral.lelisme en termes de resoluci´
o de sistemes
d’equacions lineals i el m`etode utilitzat per a discutir el sistema, encara que els
c`
alculs no siguin del tot correctes. Si els errors s´
onpurament de c`
alcul, traieu com
a m`
axim mig punt.

2. Siguin A, B i C els tres v`ertexs d’un triangle equil`
ater de costat 3 cm i P el punt
del costat AB que ´es a 1 cm del v`ertex A. Quina ´es la longitud del segment CP ?
Els tres angles d’un triangle equil`
ater s´
on de 60o . Aplicant el teorema del cosinus
al triangle AP C tenim
(P C)2 = 12 + 32 − 2 × 3 × cos 60o = 7

d’on P C =

√
7 ∼ 2,64575.

Compteu fins a un punt i mig si la f´
ormula per a determinar P C ´es correcta i el
mig punt que queda per la resta de c`
alculs.

Oficina de Coordinació i d'Organització de les PAU de Catalunya
Pàgina 2 de 4
PAU 2001
Pautes de correcció
LOGSE: Matemàtiques

`
SERIE
4
3. Considereu la funci´
o definida per
ea x ,
si x ≤ 0
2x + 1, si x > 0

f (x) =
on a ´es un nombre real.

a) Calculeu lim f(x) i comproveu que f (x) ´es cont´ınua en x = 0.
x→0

b) Per a quin valor del par`
ametre a la funci´
o f (x) ´es derivable en x = 0?

a) Com que f (0) = 1 i lim eax = lim (2x + 1) = 1 (independentment del valor
x→0

x→0

que tingui a), la funci´
o f (x) ´es cont´ınua.
b) Com que la derivada de eax ´es a eax , que en x = 0 val a, i la derivada de 2x + 1
´es costant i igual a 2, la funci´
o f (x)´es derivable nom´es quan a = 2.
Compteu un punt per cada apartat. Teniu en compte que pot haver alumnes que
no coneguin el llenguatge de l´ımit per la dreta i l´ımit per l’esquerra i que, per tant,
no es pot esperar que la q¨
uesti´
o es resolgui utilitzant aquest llenguatge. El que
si han de saber tractar ´es el que passa quan es defineix una funci´
o enganxant-ne
dues.

4. Sabeu que la gr`
aficade la funci´
o f (x) passa pel punt (1, −4) i que la seva funci´
o
derivada ´es f (x) = 2x − 2.
a) Determineu l’expressi´
o de f (x).
b) Calculeu l’`
area de la regi´
o limitada per la gr`
afica de f (x) i l’eix d’abscises OX.

a) Les primitives de 2x − 2 s´
on de la forma g(x) = x2 − 2x + k, on k ´es una
constant. Si la gr`
afica ha de passar per (1, −4) ´es que g(1) = −4 i, per tant,
k = −3.D’aqu´ı que resulti f (x) = x2 − 2x − 3.

b) Els punts de tall de la gr`
afica de f (x) amb l’eix d’abscisses corresponen a
x = −1 i x = 3. L’`
area que es demana ser`
a
3

−

−1

(x2 − 2x − 3) dx =

32
3

Compteu 1 punt per cada apartat. Valoreu sobretot si demostren con`eixer el
concepte de primitiva i el m`etode per a calcular `
arees. Puntueu independentment
cada un dels dos apartats i traieu...