Pauta T1 2014 2

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

GAJ/DUR/dur. 28-08-2014
Pauta Test 1
C´alculo III (521227)

1. (20 puntos) Encuentre la adherenciaadh(A), el conjunto de puntos de acumulaci´on,
ac(A), el interior int(A), la frontera F r(A) y el conjunto de puntos aislados, ais(A) del
conjunto:
A = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 4−x2 −y 2 ≥ 0, (x, y) ∈Q×Q}∪

3, 3,

1
n

1
n

: n ∈ {1, 2, 3, ...}

: n ∈ {1, 2, 3, ...}

´ n:
Solucio
adh(A) = A = {(x, y) ∈ R3 : z = 4 − x2 − y 2 ≥ 0} ∪

3, 3,

∪ {(3, 3, 0)}

(4 puntos)

ac(A) = A = {(x, y) ∈ R3 : z = 4 − x2 −y 2 ≥ 0} ∪ {(3, 3, 0)}

(4 puntos)

o

int(A) = A = φ

(4 puntos)

F r(A) = ∂A = adh(A) − int(A) = adh(A)

(4 puntos)

ais(A) =

3, 3,

1
n

: n ∈ {1, 2, 3, ...}

(4 puntos)

2. (40 puntos) Considerelas funciones f y g definida para (x, y) ∈ R2 − {(x, y) : x = y}
por
x3
y 3 sin(x3 )
,
g(x,
y)
=
f (x, y) = 4
x + y4
x−y
Determine si ellas tienen l´ımite en el punto (0, 0)
´ n Sugerida:
Solucio
Para(x, y) = (0, 0) se tiene que
y 3 sin(x3 )
|y|3 |x|3
|f (x, y)| =
≤ 4
x4 + y 4
x + y4
Adem´as, considerando que para todo x, y ∈ R se cumple
x4 + y 4 ≥ 2x2 y 2
entonces,
|y|3 |x|3
|y|3 |x|3
1
≤
= |x||y|
4
4
2
2
x +y
2x y
2

y como,
|x| ≤ (x, y) ,

|y| ≤ (x, y)

se tiene que,
1
1
|x| |y| ≤
(x, y)
2
2

2 (x,y)→(0,0)

→

0

y por lo tanto,
y 3 sin(x3 )
=0
(x,y)→(0,0) x4 + y 4
l´ım

(20 puntos)Nota: Existen otras formas de abordar el problema, acotando de otras formas a la
funci´on f , por ejemplo.
Para g(x, y) basta mostrar dos trayectorias adecuadas que tengan valor l´ımite distinto
y luegoconcluir que el l´ımite no existe.
El dominio de esta funci´on es el conjunto D = {(x, y) ∈ R2 : x = y}
Sea T1 = {(x, y) ∈ D : x = 0}, con (0, 0) punto de acumulaci´on de T1 .
Adem´as, ∀(x, y) ∈ T1 , f(x, y) = 0, por lo tanto
l´ım
(x,y)→(0,0)

x3
=0
x−y

(x,y)∈T1

(8 puntos)
Por otra parte, tomando la curva de nivel T2 = {(x, y) ∈ D :

x3
= 1}, con (0, 0)
x−y

punto de acumulaci´on de T2 ,...