Pedro Guzman

UNIVERSIDAD POLITu00c9CNICA DE VICTORIA

DINÁMICA Y CONTROL DE ROBOTS
LINEALIZACIÓN DE SISTEMA NO
LINEAL, ESTABILIDAD Y
RETROALIMENTACIÓN DE
ESTADOS
UNIDAD 2

1

Índice
1. OBJETIVOS
2. DESARROLLO
2.1. Enunciado del problema . . .
2.2. Espacio de Estados . . . . . .
2.3. Puntos de Equilibrio . . . . .
2.4. Linealizar . . . . . . . . . . .
2.5. Valores Propios . . . . . . . .2.6. Determinar la estabilidad . . .
2.7. Control por Retroalimentación

3

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de estados .

3. Referencias

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4
4
4
5
5
5
6
7
8

2

1.

OBJETIVOS
Realizar un ejercicio de un sistema no lineal con 3 variables de estado.

3

2.

DESARROLLO

2.1.Enunciado del problema

Sistema electro-mecánico. (Motor de corriente continua controlado por campo). Un
motor de corriente continua controlado por corriente de campo puede describirse por las
ecuaciones:
x1 = −ax1 + u
˙
x2 = −bx2 + ρ − cx1 x3
˙
x3 = ωx1 x2
˙
donde x1 , x2 , x3 son la corriente que pasa a través del campo, la corriente de armadura y
la velocidad angular del sistema(ω). Y a, b, c y ρ son constantes
Realizar la representación de estados, encontrar el punto de equilibrio del sistema, realizar
la linealización del sistema y encontrar los valores propios del mismo.

2.2.

Espacio de Estados

Obtenemos las matrices A, B, C y D, recordando la fórmula general para sistemas en
espacio de estados. La ecuación es la ecuación para las variables de estadomientras que la
ecuación 2 es para la salida del sistema.
x = f (x, u)
˙

(1)

y = g(x, u)

(2)

Para un sistema no lineal las ecuaciones son:
x=
˙

∂f
∂f
x+
u
∂x
∂u

(3)

y=

∂y
∂y
x+
u
∂x
∂u

(4)

Se procede a realizar dichos cálculos.



a
0
0
∂f
A=
= −cx3 −b −cx1 
∂x
ωx2 ωx1
0
 
1
∂f
0
B=
=
∂U
0
C=

∂y
= 0 0 1
∂x
4

D=

∂y
=0∂u

Las matrices en espacio de estados son las siguientes:
  
 
x1
˙
a
0
0
x1
x2  = −cx3 −b −cx1  x2  + 0 0 1 u
˙
x3
˙
ωx2 ωx1
0
x3
 
x1
x2 
y= 0 0 1
x3

2.3.

Puntos de Equilibrio

Para poder linealizar el sistema se tiene que evaluar la matriz A en los puntos de equilibrio.
Estos puntos se obtienen al igualar el vector x a cero para sus treselementos. Dichos valores
˙
son los siguientes:

α 


x1,0  − a 

0
x0 = x2,0  

ρa 
x3,0
−1 −
cα
considerando una entrada u0 = α.

2.4.

Linealizar

Como se mencionó anteriormente, la linealización consiste en evaluar la matriz A en su
punto de equilibrio.


a
0
0
cα 
ρa

−b

(5)
A0 = c − α

ωα a 
0
0
−
a

2.5.

Valores Propios

Seutiliza la fórmula general para calcular los valores propios de una matriz:
λs = det(λI − A0 )


λ−a
0
0
ρa
cα 

λs = det −c + α λ + b − a 


ωα
0
λ
a

5

λs = λ3 + λ2 (b − a) + λ

cωα2
cωα2
− ab −
a2
a

(6)

Para calcular los valores de λ se le asignaron valores aleatorios a las constantes, estos
valores se muestran a continuación:
a=5
b = −7
c=2
w = 30
ρ =0,4
α = 2,8
Sólo es necesario calcular las raíces de la ecuación 6 para obtener los valores propios. Para
facilitar el cálculo de las raíces del polinomio característico se escribió un programa en Matlab
el cual lo realiza. A continuación se puede observar el código utilizado.
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3
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5
6
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9
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11
12
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16

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Programa para c a l c u l a r v a l o r e s p r o p i...