PEP2

´
SEGUNDA PRUEBA DE CALCULO 10001
Ingenier´ Civil, Ingenier´ en Biotecnolog´ Ingenier´ en Ambiente,
ıa
ıa
ıa,
ıa
Ingenier´ Estad´
ıa
ıstica, Ingenier´ en Alimentos
ıa
8 de julio de 20101. Calcule:
√
7 + 2x − x2 − 1 + x + x2
l´
ım
.
x→2
2x − x2
√
x−1
l´ √
ım 3
.
x→1
x−1
(
)7 √
dy
si y = x10 + 2x − 1 · x5 + 5x.
dx
√
√
3x2 + 2x − 1
′ (x) si f (x) =
f
x5 + 2x +.
x4 + 1
√

a)
b)
c)
d)

e) La ecuaci´n de la recta tangente de f (x) =
o
2. Dada la funci´n:
o

x2 − 1
en el punto (2, f (2)) .
x2 + 1

√
2−3 x
√
f (x) =
1+2 x

a) Determineel dominio y los ceros.
b) Estudie la continuidad de f y analice su signo.
c) Analice la existencia de as´
ıntotas horizontales y verticales.
d ) Calcule la imagen de x = 1 y la preimagen de y =−1.
[
]
1
e) Deduzca, a partir de lo anterior, que el intervalo −1, −
est´ contenido en
a
3
el recorrido de f .

Puntaje: cada ´
ıtem 0,6 puntos.
Tiempo: 120 minutos.
No usar calculadora.Celulares apagados y guardados.

1

Soluci´n:
o
1.

a) El c´lculo directo da origen a una forma indeterminada de tipo 0 . Para evitarla
a
0
se debe amplificar la expresi´n:
o
√
√
7 + 2x− x2 − 1 + x + x2
l´
ım
x→2
2x − x2
√
√
√
√
7 + 2x − x2 − 1 + x + x2
7 + 2x − x2 + 1 + x + x2
√
= l´
ım
·√
x→2
2x − x2
7 + 2x − x2 + 1 + x + x2
) (
)
(
7 + 2x − x2 − 1 + x + x2
(√)
= l´
ım
√
x→2
2) ·
2 + 1 + x + x2
(2x − x
7 + 2x − x
=

=

l´
ım

x→2

x (2 − x) ·

(√

6 + x − 2x2
7 + 2x − x2 +

√

1 + x + x2

)

(x − 2)(2x + 3)
)
(√
√
x→2
x(x − 2) ·
7 + 2x − x2 + 1 + x + x2
l´
ım

√
7
7
(√
)= √ =
.
= l´
ım
√
x→2
4
4 7
x·
7 + 2x − x2 + 1 + x + x2
2x + 3

b) El c´lculo directo da origen a una forma indeterminada detipo 0 . Para evitarla
a
0
se debe amplificar la expresi´n:
o
( √
)
√
√
2
√
√
3
3
x−1
x − 1 ( x + 1) ( x) + x + 1
) √
l´ √
ım 3
= l´ √
ım 3
·( √
√
2
x→1
x→1
x−1
x−1
( 3...