Planos De Miller

Física del Estado Sólido

RED RECÍPROCA

Facultad de Ingeniería Dr. Andrés Ozols 2006

RED RECÍPROCA
El conjunto de todos los vectores de onda K que conducen a ondas planas con la periodicidadde una dada red de Bravais

eiK .( r + R ) = eiK .r
Debe cumplirse para cualquier valor de r

eiK .R = 1
Para todo vector R de la red de Bravais

Este conjunto de vectores K constituye la redrecíproca

El conjunto de vectores R es una red de Bravais

1

RED RECÍPROCA es una RED de BRAVAIS
El conjunto de vectores K es una de Bravais Cualquier combinación lineal con números enterossatisfará: eiKR = 1 Los vectores primitivos de la red recíproca se construyen en la forma

b1 = 2π

a2 xa3 a1. ( a2 xa3 )

b2 = 2π

a3 xa1 a1 xa2 b3 = 2π a1. ( a2 xa3 ) a1. ( a2 xa3 )
Vectorperpendicular al plano definido por a2 x a3 :

a3 a2

b1

b1 ∝

a2 xa3 ( a2 xa3 )

RED RECÍPROCA es una RED de BRAVAIS

Los bi es un conjunto de vectores primitivos pues:

bi .a j = 2πi≠ j i= j

a . ( a xa ) ai xak .a j = 2π j i k ai . ( ai xak ) ai . ( ai xak )
bi .a j = 2π a j . ( ai xak ) ai . ( ai xak ) =0

a . ( a xa ) bi .ai = 2π i i k = 2π .1 ai . ( ai xak )
la redrecíproca

bi .a j = 2πδ ij

k = k1b1 + k2b2 + k3b3 R = n1a1 + n2 a2 + n3a3

la red de Bravais (ni enteros)

2

RED RECÍPROCA es una RED de BRAVAIS

K .R = 2π ( k1n1 + k2 n2 + k3n3 )
SieiK .R = 1

∀R

K .R = 2π p

Con p entero

ki enteros

K son combinación lineal de los bi

K constituye una red de Bravais Se demuestra por el absurdo, que la recíproca de la redrecíproca es la
red directa

RECÍPROCACA RED CÚBICA SIMPLE Si

a1 = ax

a2 = ay

a3 = az
b1 =

ayxaz a2 x x b1 = 2π = 2π = 2π 2 ax. ( ayxaz ) ax.a x a

2π x a 2π y a 2π z a

b2 =
Análogamenteb2 y b3

b3 =

3

RECÍPROCO DE RED FCC Los vectores primitivos elegidos de la red directa son

⎛a⎞ ⎛a⎞ a1 = 2 ⎜ ⎟ ( sen45) z + 2 ⎜ ⎟ ( cos 45) y ⎝2⎠ ⎝2⎠ a1 = 2a 2 2a 2 z+ y 2 2 2 2

2...