Poisson2

Cap´ıtulo 4

Procesos de Poisson
4.1.

Distribuci´
on Exponencial

Definici´
on 4.1 Una variable aleatoria T tiene distribuci´on exponencial con par´ametro λ, T ∼ Exp(λ),
si su funci´on de distribuci´on est´a dada por
FT (t) = P (T ≤ t) = 1 − e−λt ,

para t ≥ 0.

Equivalentemente, T tiene densidad fT (t) dada por
λe−λt
0

fT (t) =

para t ≥ 0,
para t < 0.

Esta distribuci´on tiene el siguientevalor esperado:
∞

∞

E[T ] =

tfT (t)dt =
−∞
−λt

= − te

tλe−λt dt

0
∞
0

∞

+

e−λt dt =

0

1
.
λ

2

De manera similar podemos calcular E[T ] integrando por partes,
E[T 2 ] =

∞

∞

t2 fT (t)dt =

−∞

= −t2 e−λt

t2 λe−λt dλ

0
∞
0

∞

+

2te−λt dt =

0

2
.
λ2

Por lo tanto, la varianza de T es
Var(T ) = E[T 2 ] − (E[T ])2 =

4.1.1.

1
.
λ2

Falta de Memoria

Una de las propiedadesfundamentales de la distribuci´on exponencial es la siguiente:
P (T > t + s|T > t) = P (T > s).
Para demostrar esta propiedad usamos la definici´on de probabilidad condicional
P (T > t + s|T > t) =

e−λ(t+s)
P (T > t + s)
=
= e−λs = P (T > s).
P (T > t)
e−λt

CAP´
ITULO 4. PROCESOS DE POISSON

110

4.1.2.

M´ınimo de Variables Exponenciales

Sean S ∼ Exp(λ) y T ∼ Exp(µ) variables independientes. Tenemos enprimer lugar
P (min(S, T ) > t) = P (S > t, T > t)
= P (S > t)P (T > t) = e−(λ+µ)t ,
es decir, min(S, T ) tiene distribuci´on exponencial de par´ametro λ + µ. El mismo c´alculo muestra que para
una colecci´on de variables independientes T1 , . . . , Tn con Ti ∼ Exp(λi ), 1 ≤ i ≤ n,
P (min(T1 , . . . , Tn ) > t) = P (T1 > t, . . . , Tn > t)
n

=

n

e−λi t = e−(λ1 +···+λn )t

P (Ti > t) =
i=1(4.1)

i=1

En consecuencia, el m´ınimo de varias variables independientes con distribuciones exponenciales tiene
distribuci´on exponencial con par´ametro igual a la suma de los par´ametros.
Veamos ahora con qu´e probabilidad una variable exponencial es menor que otra:
∞

P (T > S) =

P (T > s|S = s)fS (s)ds
0

=

∞

λe−λs e−µs ds =

0

=

∞

λ
λ+µ

(λ + µ)e−(λ+µ)s ds

0

λ
.
λ+µ

Para variasvariables, el resultado es el siguiente
P (Ti = min(T1 , . . . , Tn )) = P (Ti < T1 , . . . , Ti < Ti−1 , Ti < Ti+1 , . . . , Ti < Tn )
λi
=
.
λ1 + · · · + λn
Para demostrar esta propiedad llamemos S = Ti y sea U el m´ınimo de Tj , j = i. Por (4.1) sabemos que
U es exponencial con par´ametro µ = (λ1 + · · · + λn ) − λi . Usando el resultado para dos variables
λi
λi
=
.
λi + µ
λ1 + · · · + λn

P (Ti =min(T1 , . . . , Tn )) = P (S < U ) =

Sea I el ´ındice (aleatorio) de la menor de las variables exponenciales, hemos demostrado que
P (I = i) =

λi
.
λ1 + · · · + λn

Lema 4.1 I y V = min(T1 , . . . , Tn ) son independientes.
Demostraci´
on. Calculamos la siguiente probabilidad conjunta
∞

P (I = i, V > t) = P (Ti > t, Tj > Ti para j = i) =
∞

=
t

=

∞

e−λj s ds = λi

λi e−λi s

P (Tj > s para j =i)fTi (s)ds

e−s(

j

λj )

ds

t

j=i

λi
e−t(
λ1 + · · · + λn

t

j

λj )

= P (I = i)P (V > t).

Veamos a continuaci´on c´omo se distribuye una suma de exponenciales.

´ DE POISSON
4.2. LA DISTRIBUCION

111

Teorema 4.1 Sean T1 , T2 , . . . v.a.i.i.d. con distribuci´
on exponencial de par´
ametro λ. La suma τn =
T1 + · · · + Tn tiene distribuci´
on Γ(n, λ), es decir, la densidad est´
a dadapor
fτn (t) = λe−λt

(λt)n−1
(n − 1)!

para t ≥ 0

y 0 en otro caso.
Demostraci´
on. Haremos la prueba por inducci´on. Para n = 1, τ1 = T1 tiene distribuci´on exponencial
de par´ametro λ, que concuerda con la densidad de la f´ormula anterior.
Supongamos ahora que la f´ormula es cierta para n. Tenemos τn+1 = τn + Tn+1 y por independencia
t

P (τn+1 ≤ t) =

P (τn + Tn+1 ≤ t|τn = s)fτn (s)ds

0
t

=0

P (Tn+1 ≤ t − s))fτn (s)ds

Usamos ahora la distribuci´on exponencial para el primer factor y la f´ormula inductiva para el segundo
obtenemos
t
0

(1 − e−λ(t−s) )λe−λs

(λs)n−1
λn
ds =
(n − 1)!
(n − 1)!

t

e−λs sn−1 ds −

0

λn
1 n −λs
s e
(n − 1)! n

=

t

=
0

t

λn
(n − 1)!

t

+

λ
0

0

t

e−λt sn−1 ds

0

sn
sn −λs
e
ds − e−λt
n
n

(λs)n
λe−λs
ds.
n!

Como consecuencia del teorema...