polinomios

Polinomios

Los polinomios son expresiones algebraicas de la forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0
P(x) = 5x4 − 3x3 + 2x2 + 7x + 6
Los coeficientes del polinomio son los números que aparecen multiplicando a la variable.
Al término sin x se le llama término independiente.
n un número natural
x la variable o indeterminada
an es el coeficiente principal
aoes el término independiente

Grado de un polinomio
El grado de un polinomio es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x. Según su grado los polinomios pueden ser de:
TIPO
EJEMPLO
PRIMER GRADO
P(x) = 3x + 2
SEGUNDO GRADO
P(x) = 2x2+ 3x + 2
TERCER GRADO
P(x) = x3− 2x2+ 3x + 2

Tipos de polinomios
Polinomio nulo
Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientesnulos.
P(x) = 0x2 + 0x + 0

Polinomio homogéneo
Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo
Es aquel polinomio en el que todos sus términos no son del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 − 3
Polinomio completo
Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3
Polinomio incompleto
Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si tienen el mismogrado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Polinomios semejantes
Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x − 3; x = 1
P (1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

Monomio
Es un polinomio que consta de un solo(termino) monomio.
P(x) = 2x2
Binomio
Es un polinomio que consta de dos monomios.
P(x) = 2x2 + 3x
Trinomio
Es unpolinomio que consta de tres monomios.
P(x) = 2x2 + 3x + 5

Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x − 3; x = 1
P (1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

Operaciones con polinomios
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términosdel mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3         Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
P(x) +  Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) +  Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) +  Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste ensumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)
P(x) −  Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) −  Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3
P(x) −  Q(x) = 3x2 + x − 3

Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes delpolinomio por el número.
3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios
Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distintas.
Mira la demostración con elsiguiente ejemplo:
P(x) = 2x2 − 3       Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
OPCIÓN 1
1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3+ 9x2 − 12x =
2Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
3Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los...