Polynomdivision

Lösung durch Polynomdivision

Es gibt eine Menge Fälle, in denen man kein x ausklammern kann,
um so die Nullstellen zu finden. Ein Beispiel sei f(x) = x³ - 4x² +8x -8.
Durch Ausklammern kann man höchstens zu x(x² -4x +8 ) = 8 kommen,
aber das hilft wohl nur wenig weiter. Immerhin liefert das eine Information,
die man unter Umständen vielleicht sogar brauchen kann : Sollte es nämlicheine ganzzahlige Lösung dieser Gleichung geben, so muss sie ein Teiler
von 8 sein. Warum?
Naja, ist x ganzzahlig (kein Bruch, keine Wurzel o.ä.), dann ist auch
x², 4x und somit auch x²-4x+8 eine ganze Zahl und x mal diese
Zahl ist 8, also sind x und die andere Zahl Teiler von 8.
Das hilft, wenn wir mal etwas "weniger mathematisch" an die Aufgabe
herangehen und eine Lösung einfach durchProbieren suchen.
Ich weiß, das gefällt vielen Schülern nicht. Es scheint ihnen nicht
systematisch genug und scheint daher auch nicht zur Mathematik zu passen.
Aber „Trial and Error“ sind auch in der Mathematik häufiger von Nöten, als
man gemeinhin glaubt. Vielleicht wird unseren Schülern sogar ein
etwas falsches Bild von der Mathematik vermittelt, wenn alle
mathematischen Regeln sovom Himmel fallen, dass man vielleicht gerade
noch im Nebensatz erwähnt, wo sie nicht angewendet werden können.
Definiert man aber z.B. neue mathematische Objekte, so wird man zunächst
einmal eine Menge Eigenschaften vermuten, die man ausprobiert - wenn
sich so eine Vermutung dann erhärtet, wird man natürlich nach einem
allgemein gültigen Satz suchen und diesen exakt beweisen wollen.Aber
selbst dafür braucht man oft ein Stück Intuition, es kann nicht alles
systematisch hergeleitet werden kann. Eine Menge Aussagen erweisen
sich freilich schon durch "Rumprobieren" als falsch.
Auch in unserem Fall soll das Probieren nicht völlig blindlings erfolgen,
sondern wir wollen uns auf die Teiler von 8 einschränken - allgemein auf
Teiler der Konstanten (die ohne x am Schlusssteht). Ist keiner dieser
Teiler eine NST von f, so wissen wir zumindest, dass f keine ganzzahligen
NST hat (Voraussetzung ist freilich, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind).
In den Fällen, wo es ganzzahlige NST gibt (oder aus sonst einem Grund eine
NST bekannt ist), werden wir sehen, dass man - mit mathematischen Methoden -
weiterarbeiten kann.
Bei der Bestimmung der Teiler derKonstanten, sollte man zum einen
die 1 nicht vergessen, zum anderen nicht die entsprechenden Minuszahlen.
Bei 8 haben wir also die Menge ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 zu beachten.
Dass ± 1 in unserem Beispiel keine NST sind, sieht man ziemlich schnell.
Für x=2 wird man in unserem Beispiel fündig (f(2) = 8 -16 +16 -8 = 0 ).
Hat man eine NST durch Probieren gefunden, so braucht man nicht weiter
zuprobieren.
Das Ziel des nächsten Schrittes ist es nun, den Funktionsterm in
Faktoren zu zerlegen. Jeder der Faktoren hat dann einen geringeren Grad
als der Funktionsterm selbst, so dass die NST der Faktoren leichter zu
bestimmen sind. Sie erinnern sich: Ein Produkt ist dann 0,
wenn einer der Faktoren 0 ist. Die Geschichte ist folgende :
Ist x1 eine NST von f, so ist (x-x1) ein Faktor von f(welcher
offensichtlich genau bei x1 seine NST besitzt). Den zweiten Faktor
erhält man (wie bei Zahlen auch), indem man durch den ersten Faktor
teilt. Die Division wird so ähnlich ausgeführt, wie man in der
Grundschule hohe Zahlen dividiert hat (nämlich Schritt für
Schritt die Stellen verringert) : Beispiel :
1024 : 8 = 1 2 8
-8
22
-16
64
-64
0Bei Polynomen schaut das dann wie folgt aus :
(x³ - 4 x² + 8x - 8) : (x -2) = x² - 2x +4
- (x³ - 2 x²)
-2 x² + 8x
- (-2 x² + 4x)
4x - 8
-(4x - 8)
0
Zunächst wird die höchste Potenz x³ beseitigt. x³ ergibt sich, wenn
man die höchste Potenz des Teilers (die bei uns immer x ist) mit x²
multipliziert, also muss die...