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Capitulo 8

INTEGRALES DE LINEA

Si un alambre, en la forma de alguna curva C, tiene una densidad variable, entonces el problema de calcular la masa del alambre se convierte en un problema de definir la integral de una función escalar, que aquí es la densidad del alambre, cuyo dominio es una curva en el espacio. Nosotros previamente hemos definido integrales de funciones escalares cuyosdominios fueron segmentos de recta abfxdx, o regiones bidimensionales en el plano Rfx,ydA, o regiones tridimensionales en el espacio Dfx,y,zdV. Para definir la integral de una función escalar sobre cierto dominio que es una curva en el plano o en el espacio, denotada por Cfx,yds o Cfx,y,zds,
Seguiremos la misma lista de pasos dados anteriormente:
1. Partir el dominio en pequeños pedazosde tamaño ∆s. Si los pedazos tuvieran diferentes tamaños, denotaremos el tamaño del i-ésimo pedazo por ∆si
2. Tomaremos un punto en cada pequeño pedazo de curva; denotaremos el punto tomado por pi=(xi,yi)
3. Calculamos cada f(pi) , que multiplicado por ∆si, y sumamos todos los pedazos para conseguir if(pi)∆si
4. Tomamos el limite a esta suma de Riemann cuando la malla de lapartición se hace más fina, esto es, cuando ∆si →0. ó P →0.
A este límite se le denomina la integral de línea de la función f sobre la curva C.

8.1. Funciones vectoriales y curvas en el espacio
Definición 1 Función vectorial: Decimos que λ es una función vectorial si para cada número real t con tϵ B⊂R, λ asocia un único vector X=x1,x2,…,xn, X ∈ Rn . Además se tiene que xi=git∀ i=1…n siendo git funciones reales de variable real, llamadas funciones componentes del vector λt. Escribimos
λ :R →Rn |
λt=(g1t, g2t, …, gnt) |

Definición 2 Curvas en el espacio : Al conjunto de puntos que satisfacen las ecuaciones
xi=git (1)donde git son funciones reales se les llama curva en el espacio n-dimensional . A las ecuaciones (1) se les llama ecuaciones paramétricas de la curva C y t es el parámetro.

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE LINEA

1.- | Ejemplo: |
Evalúe C2+x2yds , donde C es la mitad superior del círculo unitario x2+y2=1.
Solución



2.- | Ejemplo: |

Un alambre toma la forma de un semicírculo x2+y2=1,y≥0, y es más grueso cerca de su base que de su punta. Encuentre el centro de masa del alambre si la densidad lineal en cualquier punto es proporcional a su distancia de la recta y=1.

Solución

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DE LINEA

1. Ckfx,yds=kCfx,yds , siendo k una constante

2. C[fx,y±gx,y]ds=Cfx,yds ± Cgx,yds
3. Si un camino C se compone de dos curvas C1 y C2,entonces



3.- | Ejemplo: |
Calcular la integral de línea Cx ds a lo largo del camino C=C1+C2
Solución


Para C1 tenemos que y para C2

8.2. DEFINICIÓN Y CÁLCULO DE LA INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE CAMPOS
VECTORIALES
Definición: Sea Fx,yz=( F1x,y,z,F2x,y,z,F3x,y,z ) un campo vectorial definida en U ⊂ R3→ R3 , diferenciable y acotada en U; λ(t)=(xt,yt,z(t) ) la parametrización de una trayectoria en R3 . Se llama integral de línea de F sobre λ a la integral
λF∙ds= abF∘λ∙λ'tdt
Existe otra forma más usual de expresar la integral de línea si tenemos en cuenta que el vector diferencial de curva se puede expresar como ds=(dx,dy,dz)entonces al resolver el producto interno
λF∙ds=λ F1x,y,z, F2x,y,z,F3x,y,z ∙(dx,dy,dz)

λF∙ds=λF1x,y,zdx + λF2x,y,zdy +λF3x,y,zdz

INTEGRAL DE LINEA DE CAMPOS VECTORIALES

INTEGRAL DE LINEA EN TRES DIMENSIONES Y FORMA DIFERENCIAL DE LA INTEGRAL DE LÍNEA

4.- | Ejemplo: |
Calcule el trabajo hecho por el campo de fuerza Fx,y=x2i-xyj al mover una partícula a lo largo de una cuarta...