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Publicado: 12 de octubre de 2014
7. DERIVADAS DE FUNCIONES
7.1 Noción de derivada de una función en un punto.
Sea una función y = f(x) , a partir de ella se puede definir otra función, y' = f '(x) , llamada "derivada de f(x)", que va a jugar un papel fundamental en todo el Cálculo Infinitesimal, tal como vamos a ir viendo en éste y en posteriores temas.
Pero comencemos por la definición de derivada en uncierto punto, digamos x = xo , de la función y = f(x) es:
suponiendo que este límite exista (en cuyo caso se dice que f es derivable en xo ). A esta cantidad h se la llama "incremento de x", en muchas ocasiones se la suele representar como Dx (recuerde por ejemplo en Física el concepto de "incremento de temperatura", etc.), y puede ser tanto positiva ("incremento positivo") como negativa("decremento").
(ATENCIÓN: Hemos dado la definición de la derivada en un punto , es decir, f'(xo) , lo cual representa un valor numérico.
EJEMPLO 1: Para la función y = x² , vamos a hallar su derivada en cierto punto x=a.
Según la definición de arriba tendremos:
Observe cómo hemos sustituido en f(a+h) su valor para este ejemplo, (a+h)² , así como en f(a) el valorcorrespondiente, a². Finalmente tenemos que hallar el consiguiente límite que por regla general suele tener la forma indeterminada 0/0, pero nosotros debemos operar en él para eliminar la indeterminación:
La derivada en el punto x=a de la función x² es 2a. Es decir, por ejemplo:
f ' (2)= 2.2 = 4,
f ' (3)= 2.3 = 6,
f ' (4)= 2.4 = 8,
etc.
Para la función y = x² , podemos decirque existe derivada en todos sus puntos, posteriormente se define la función derivada de y = x² como la función y' = 2 x.
7.2 Función derivada de una función.
En general, las funciones elementales que tratamos en Cálculo poseen derivada en todos sus puntos (salvo quizás en algunos puntos específicos de los que luego hablaremos), por eso dada una función y = f(x) , diremos que suderivada es la función y ' = f '(x).
Es decir, la función derivada de f(x) puede ser calculada mediante el límite:
EJEMPLO 2: Hallar la derivada de la función y = sin x.
Aplicamos la fórmula de arriba para f(x) = sin x.
límite que en principio tiene la forma indeterminada 0/0, pero cuyo numerador puede ser desarrollado según la formula de la diferencia de dos senos (verrelaciones trigonométricas):
Por lo tanto:
donde hemos tenido en cuenta que:
En definitiva, la derivada de y = sin x es y ' = cos x .
7.3 Significado geométrico de la derivada en un punto.
Supongamos una función y = f(x) , y consideremos un cierto punto x = xo .
A partir de ese punto xo, incrementamos la ordenada una pequeña cantidad h, llamada"incremento de xo" (también representado Dxo), y la función pasa de f(xo) a f(xo + h), entonces la función ha sufrido un incremento Dy en ese punto, equivalente a:
Fijémonos ahora en el triángulo rectángulo formado arriba por la recta secante a la curva (en azul) y las rectas punteadas, triángulo que reproducimos a la derecha algo más ampliado.
En este triángulo, la hipotenusa es la rectaPR dibujada en azul, mientras que sus catetos son los dos incrementos, Dy , Dx (en el punto xo). Por lo tanto al dividir el Dy entre el Dx , nos da la tangente del ángulo P (marcado en naranja):
se trata de la tangente que forma la recta secante que une los puntos de f(xo) y f(xo + h), ahora si hacemos tender h a 0, es decir, para desplazamientos h infinitesimales, esa recta secante setransforma en la recta tangente (dibujada en violeta), y el ángulo P se convierte en el a (en color rojo), entonces:
que es precisamente la derivada de y=f(x) en el punto xo. Geométricamente es la tangente "del ángulo formado por la recta tangente" en el punto P, llamada pendiente de la curva en P, o mejor, pendiente de y=f(x) en el punto xo.
Este sentido de derivada de una función en...
7.1 Noción de derivada de una función en un punto.
Sea una función y = f(x) , a partir de ella se puede definir otra función, y' = f '(x) , llamada "derivada de f(x)", que va a jugar un papel fundamental en todo el Cálculo Infinitesimal, tal como vamos a ir viendo en éste y en posteriores temas.
Pero comencemos por la definición de derivada en uncierto punto, digamos x = xo , de la función y = f(x) es:
suponiendo que este límite exista (en cuyo caso se dice que f es derivable en xo ). A esta cantidad h se la llama "incremento de x", en muchas ocasiones se la suele representar como Dx (recuerde por ejemplo en Física el concepto de "incremento de temperatura", etc.), y puede ser tanto positiva ("incremento positivo") como negativa("decremento").
(ATENCIÓN: Hemos dado la definición de la derivada en un punto , es decir, f'(xo) , lo cual representa un valor numérico.
EJEMPLO 1: Para la función y = x² , vamos a hallar su derivada en cierto punto x=a.
Según la definición de arriba tendremos:
Observe cómo hemos sustituido en f(a+h) su valor para este ejemplo, (a+h)² , así como en f(a) el valorcorrespondiente, a². Finalmente tenemos que hallar el consiguiente límite que por regla general suele tener la forma indeterminada 0/0, pero nosotros debemos operar en él para eliminar la indeterminación:
La derivada en el punto x=a de la función x² es 2a. Es decir, por ejemplo:
f ' (2)= 2.2 = 4,
f ' (3)= 2.3 = 6,
f ' (4)= 2.4 = 8,
etc.
Para la función y = x² , podemos decirque existe derivada en todos sus puntos, posteriormente se define la función derivada de y = x² como la función y' = 2 x.
7.2 Función derivada de una función.
En general, las funciones elementales que tratamos en Cálculo poseen derivada en todos sus puntos (salvo quizás en algunos puntos específicos de los que luego hablaremos), por eso dada una función y = f(x) , diremos que suderivada es la función y ' = f '(x).
Es decir, la función derivada de f(x) puede ser calculada mediante el límite:
EJEMPLO 2: Hallar la derivada de la función y = sin x.
Aplicamos la fórmula de arriba para f(x) = sin x.
límite que en principio tiene la forma indeterminada 0/0, pero cuyo numerador puede ser desarrollado según la formula de la diferencia de dos senos (verrelaciones trigonométricas):
Por lo tanto:
donde hemos tenido en cuenta que:
En definitiva, la derivada de y = sin x es y ' = cos x .
7.3 Significado geométrico de la derivada en un punto.
Supongamos una función y = f(x) , y consideremos un cierto punto x = xo .
A partir de ese punto xo, incrementamos la ordenada una pequeña cantidad h, llamada"incremento de xo" (también representado Dxo), y la función pasa de f(xo) a f(xo + h), entonces la función ha sufrido un incremento Dy en ese punto, equivalente a:
Fijémonos ahora en el triángulo rectángulo formado arriba por la recta secante a la curva (en azul) y las rectas punteadas, triángulo que reproducimos a la derecha algo más ampliado.
En este triángulo, la hipotenusa es la rectaPR dibujada en azul, mientras que sus catetos son los dos incrementos, Dy , Dx (en el punto xo). Por lo tanto al dividir el Dy entre el Dx , nos da la tangente del ángulo P (marcado en naranja):
se trata de la tangente que forma la recta secante que une los puntos de f(xo) y f(xo + h), ahora si hacemos tender h a 0, es decir, para desplazamientos h infinitesimales, esa recta secante setransforma en la recta tangente (dibujada en violeta), y el ángulo P se convierte en el a (en color rojo), entonces:
que es precisamente la derivada de y=f(x) en el punto xo. Geométricamente es la tangente "del ángulo formado por la recta tangente" en el punto P, llamada pendiente de la curva en P, o mejor, pendiente de y=f(x) en el punto xo.
Este sentido de derivada de una función en...
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