PORTADA

Capítulo 7

Estimación puntual y por
Intervalos de Confianza
7.1.

Introducción

Consideremos una v.a X con distribución Fθ con θ desconocido. En este tema vemos cómo
dar una estimación puntual para el parámetro θ y cómo construir un intervalo de confianza
para el mismo, dos formas según se comentó de estimar el parámetro.

7.2.

Estimación puntual

Sea X una variable poblacionalcon distribución Fθ , siendo θ desconocido. El problema de
estimación puntual consiste en, seleccionada una muestra X1 , ..., Xn , encontrar el estadístico
T (X1 , ..., Xn ) que mejor estime el parámetro θ. Una vez observada o realizada la muestra, con
ˆ

valores x1 , ..., xn , se obtiene la estimación puntual de θ, T (x1 , ..., xn ) = θ .
Vemos a continuación dos métodos para obtener laestimación puntual de un parámetro:
método de los momentos y método de máxima verosimilitud.
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108

Capítulo 7. Estimación puntual y por Intervalos de Confianza

7.2.1.

Métodos de estimación puntual

Método de los momentos: consiste en igualar momentos poblacionales a momentos muestrales. Deberemos tener tantas igualdades como parámetros a estimar.
Momento poblacional de orden r

αr= E(X r )
n
X
r
Xi

Momento muestral de orden r

ar =

i=1

n

Método de máxima verosimilitud: consiste en tomar como valor del parámetro aquel que
maximice la probabilidad de que ocurra la muestra observada.
Si X1 , ..., Xn es una muestra seleccionada de una población con distribución Fθ o densidad
fθ (x), la probabilidad de que ocurra una realización x1 , ..., xn viene dada por:Lθ (x1 , ..., xn ) =

n
Y

fθ (xi )

i=1

A Lθ (x1 , ..., xn ) se le llama función de verosimilitud.(credibilidad de la muestra observada).
Buscamos entonces el valor de θ que maximice la función de verosimilud, y al valor
obtenido se le llama estimación por máxima verosimilitud de θ.
Nota: si la variable X es discreta, en lugar de fθ (xi ) consideramos la función masa deprobabilidad pθ (xi ).
Ejemplo 7.1: Sea X → N (µ, σ), con µ desconocido. Seleccionada una m.a.s. X1 , ..., Xn ,
con realización x1 , ..., xn , estimamos el parámetro µ por ambos métodos.
Según el método de los momentos:

E(X) =
ˆ

n
X

Xi

i=1

n

−

= X,

−

y al ser µ = E(X) se obtiene que µ = x.
Por el método de máxima verosimilitud:
Lµ (x1 , ..., xn ) =
=

n
Y

i=1
n
Yfµ (xi ) =

−(xi −µ)2
1
√
e 2σ2 ,
2πσ
i=1

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7.3. Estimación por Intervalos de confianza

y maximizamos en µ tal función; en este caso resulta más fácil maximizar su logaritmo:
ln Lµ (x1 , ..., xn ) = −

n
√
1 X
(xi − µ)2 − n ln( 2πσ)
2
2σ i=1

−
n
∂
1 X
nx − nµ
ˆ
−
(xi − µ) =
= 0 ⇐⇒ µ = x
ln Lµ (x1 , ..., xn ) = 2
∂µ
σ i=1
σ2

7.3.

Estimación porIntervalos de confianza

En lugar de dar una estimación puntual para el parámetro θ buscamos ahora un intervalo
−

[θ (x1 , ..., xn ), θ(x1 , ..., xn )] que contenga al parámetro con una alta probabilidad. Esta proba−

bilidad recibe el nombre de nivel de confianza del intervalo, se denota por (1 − α) y la fija el
investigador.

7.3.1.

Construcción de un Intervalo de Confianza (I.C.)

Sea X→ Fθ , con θ desconocido.
Seguimos los siguientes pasos para construir un I.C. para θ :
1. Seleccionamos una m.a.s. X1 , ..., Xn .
2. Buscamos un estadístico que incluya el parámetro a estimar θ y que tenga distribución
conocida.
3. Fijamos el nivel de confianza (1 − α).
−

4. Encontramos θ (x1 , ..., xn ) y θ(x1 , ..., xn ) tal que
−

P

µ

−

θ (x1 , ..., xn ) ≤ θ ≤ θ(x1 , ..., xn)

−

¶

≥1−α

−

Diremos entonces que [θ (x1 , ..., xn ), θ(x1 , ..., xn )] es un I.C. para θ al (1 − α)100 % de con−

fianza. Eso significa que de cada 100 intervalos que pudieran obtenerse (según distintas muestras
que pudieran haber sido seleccionadas al azar), (1 − α)100 contendrían el verdadero valor del
parámetro θ.
Ejemplo 7.2: Como ejemplo construimos un I.C. al (1−α)100...