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TEMA II: ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN
En este capítulo veremos los métodos matemáticos que se disponen para las operaciones
relacionadas con los circuitos digitales, así como las funciones más básicas de la aritmética
binaria.
1. Definición de Álgebra de Boole. Postulados.
Se define como álgebra de Boole a un sistema matemático con un conjunto de elementos
B y dos operaciones binarias cerradas(·) y (+) siempre y cuando se cumplan los siguientes
postulados:
• P1.- las operaciones tienen la propiedad conmutativa.
a+b = b+a
a·b = b·a
• P2.- las operaciones son distributivas entre sí
a·(b+c) = a·b + a·c
a+(b·c) = (a+b)·(a+c)
• P3.- las operaciones tienen elementos identidad diferentes dentro de B. Estos elementos
son definidos como 0 para (+) y 1 para (·).
a+0 = a
a·1 = a
• P4.-para cada elemento, a, del conjunto B, existe otro elemento denominado complemento,
a también del conjunto B, tal que se cumple:
a+a = 1
a·a = 0
Como podemos ver, en cualquier álgebra booleana se cumple el principio de dualidad:
Cualquier teorema o identidad algebraica deducible de los
postulados anteriores puede transformarse en un segundo
teorema o identidad válida sin mas que intercambiarlas
operaciones binarias y los elementos identidad.
Dpto. Ingeniería Electrónica de Sistemas Informáticos y Automática
Como en cualquier álgebra, podemos disponer de constantes y de variables. Así,
una constante se define como cualquier elemento del conjunto
B.
Mientras que una variable es un símbolo que representa un
elemento arbitrario del álgebra, ya sea una constante o
una fórmulaalgebraica completa.
2. Teoremas del Álgebra de Boole.
En cualquier álgebra de Boole se pueden demostrar los siguientes teoremas:
Teorema 2.1.- El elemento a del 4º postulado (denominado complemento o negación de a) está
unívocamente determinado, es decir, es único.
Demostración.- Supongamos que existen dos complementos de a: a1 y a2.
a2 = a2·1 = a2·(a+ a1) = a2·a + a2·a1 = a·a1 + a2·a1 = (a +a2)·a1 = a1
Teorema 2.2.- (o Teorema de elementos nulos) Para cada cualquier elemento a, se verifica
a+1 = 1 y a·0 = 0
Demostración.-
a+1 = 1·(a+1) = (a+a’)·(a+1) = a + a’·1 = a + a’ = 1
a·0 = a·0+0 = a·0 + a·a’ = a·(a’+0) = a·a’ = 0
Teorema 2.3.- Cada uno de los elementos identidad es el complemento del otro, es decir, 1’ = 0
y 0’ = 1
Demostración.- Si fuese cierto, deberían cumplir elcuarto postulado del álgebra:
1 = 0 + 0’
0 = 0 · 0’
Por ser único l complemento: 0’ = 1
1 = 1 + 1’
0 = 1 · 1’
Por ser único el complemento: 1’ = 0
Teorema 2.4.- (o Teorema de idempotencia) Para cada elemento a, se verifica:
a + a = a
a · a = a
Demostración.-
a + a = a + a · 1 = a + a · (a + a’) = a + a · a + a · a’ = a · (1 + a) = a · 1 = a
a · a = a · a + 0 = a · a + a · a’ = a·(a + a’)= a·1 = a
Teorema 2.5.- (o Teorema de involución) Para cada elemento de a, se verifica que el complemento
del complemento de a es a, es decir, (a’)’ = a
Demostración.-

a’ + (a’)’ = 1 = a + a’ = a’ + a −> a = (a’)’
a’ · (a’)’ = 0 = a · a’ = a’ · a −> a = (a’)’
Teorema 2.6.- (o Teorema de absorción) Para cada par de elementos, a y b, se verifica:
a + a · b = a
a · (a + b) = aDemostración.-
a + a · b = a · 1 + a · b = a · (1 + b) = a · 1 = a
a·(a + b) = (a + 0) · (a + b) = a + 0 · b = a
Teorema 2.7.- Para cada par de elementos, a y b, se verifica:
a + a’ · b = a + b
a · (a’ + b) = a · b
Demostración.-
a + a’ · b = (a + a’)·(a + b) = 1·(a + b) = a + b
a · (a’ + b) = a · a’ + a · b = a · b
Teorema 2.8.- (o Leyes de DeMorgan) Para cada par de elementos, a y b, se verifica(a + b)’ = a’ · b’
(a · b)’ = a’ + b’
Demostración.- Se comprobará si se satisface el cuarto postulado
a + b + (a + b)’ = a + b + a’ · b’ = a + a’ · b’ + b + b’ · a’ =
= a + b’ + b + a’ = a + a’ + b + b’ = 1 + 1 = 1
(a + b) · (a’ · b’) = a · a’ · b’ + b · b’ · a’ = b’ · 0 + 0 · a’ = 0 + 0 = 0
a · b + (a · b)’ = a · b + a’ + b’ = a · b + a’ + a · b + b’ =
= a + a’ + b + b’ = 1 + 1 = 1
a...