potencial nacional

SUCESIONES Y SERIES
José Darío Sánchez Hernández
danojuanos@hotmail.com

§1. SUCESIONES DE NUMEROS REALES.
1.1. Introducción.
Los números naturales son algo que actualmente está en el medio ambiente, quizás
por esto llegó el matemático alemán Leopoldo Kronecker a decir: “El buen Dios dió al
hombre los números naturales; el resto ha sido obra suya " .
Se consideran los números naturalescomo la estructura básica de la Matemática y
siguiendo al matemático italiano Giuseppe Peano, los únicos términos técnicos que
intervienen son los de número natural, primer natural (cero para nosotros y uno para
otros, según los gustos) y “ el siguiente de ", o, “ el sucesor de ", con los siguientes
axiomas:
N . Cero es un número natural
N . El siguiente de todo número natural también esnúmero natural
N . Si es una colección de números naturales tal que cumple:
0 esta en
Cada vez que un natural está en , también el siguiente de él está en
.
Entonces S es el conjunto de todos los naturales.
N Si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces los números son
iguales.
N Cero nunca es sucesor de un natural.
Sucesor de un conjunto significa, a otro conjunto con unelemento más; una manera de
formar a partir de un conjunto dado otro con un elemento más, es agregar el mismo
como elemento, a esté le llamaremos “el sucesor de " y se le nota
.
Así
0

Darío Sánchez

Notaremos con

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

2

al conjunto de todos los números naturales.

1.2. Definición de sucesión.
Sea
(

un subconjunto de números reales y
. Al conjuntouna función, es decir,
se le llama una

sucesión en
De la teoría de conjuntos se sabe que cuando
significa que “
" , en este caso se denota
. En esta forma al conjunto
que usualmente se le llama una sucesión y a
se le conoce como el
término de la sucesión.

Ejemplo. Así los conjuntos

y

es al
-ésimo
0

son sucesiones en

, representados por
y
Cuando

y

.

A esuna sucesión entonces

0

es llamada una

sucesión de números reales o simplemente una sucesión real .

1.3 . Sucesiones Monótonas.
Sea
0 una sucesión real, se dice que
cuando la siguiente proposición es verdadera

Ejemplo. Los conjuntos
Análogamente sea
si

0

1

Se dice que la sucesión
tal que

son sucesiones crecientes.
0

es decreciente

son sucesiones decrecientes.Se dice que una sucesión
decreciente.
0

es una sucesión creciente

una sucesión real , se dice que

Ejemplo. Los conjuntos

Una sucesión
tal que

1

0

0

es una sucesión monótona

si es creciente o

se dice acotada superiormente si existe una constante

0

es acotada inferiormente si existe una constante

Darío Sánchez

CURSO DE SUCESIONES Y SERIES

Se diceque una sucesión
es decir que existe una constante

0

3

es acotada, si es acotada superior e inferiormente,
tal que
para todo

1.4. Límite de una sucesión.
Si los términos de una sucesión
0 se acercan a un número
sucesión tiende al límite
( o que converge a ) y se nota:
lim
ó,

, se dice que la

Más precisamente la sucesión
, si dado un número cualquiera
0 converge a
, esposible la determinación de un número natural
tal que si
Esto es, a partir de un -ésimo término todos los elementos de la sucesión están en un
entorno de con radio .

Una sucesión que tiene un límite se le llama

sucesión convergente, en caso

contrario la sucesión de dice divergente
Formalmente tenemos la siguiente definición:

Definición. Una sucesión
“ dado

se dice convergentehacia
tal que si
entonces

existe

si
”.

Ejemplos.
1. La sucesión
naturalmente es convergente y su límite es Para mostrar esto
demos
y tratemos de hallar
tal que
Ahora
Por lo tanto como los números naturales no son acotados en
podemos tomar un número natural
tal que
así la proposición
(
)(
es verdadera, luego
2.

Para

la

lim

sucesión

1

, dado
Esto...