Potencial periodico

EL POTENCIAL PERIODICO

1. INTRODUCCION.

Examinemos en esta sección el potencial periódico, formado por infinitos pozos de potencial iguales. El efecto de la red lineal será el de cambiar la función de onda de la partícula libre de modo que en lugar de tener una amplitud constante, esta función de onda tenga una amplitud variable u(x).



Esta es su forma se repite indefinidamente conperiodo “a” a lo largo de toda la recta real. Este tipo de potenciales los encontramos por ejemplo asociados a cualquier estructura reticular perfecta y son de enorme importancia en estado sólido.
Lo primero a destacar es que carecen de estados ligados. La demostración es sencilla: supongamos que pertenece al espectro puntual del hamiltoniano y sea
el subespacio propio correspondiente, y porser una ecuación diferencial de segundo orden . Entonces dada la periodicidad del potencial es claro que si también . Si representamos por Va el operador tal que , y dado que es invariante bajo su actuación, podemos diagonalizarlo y calcular una base ortogonal ψ1,...ψd en tal que:



Dado que Va es unitario. Esta relación significa que , relación incompatible con que ψj sea decuadrado sumable.

2. ESPECTRO CONTINUO.

Para determinarlo nos basaremos en el criterio siguiente: si y solo si alguna solución no trivial de la ecuación de auto valores del Hamiltoniano es acotada. Consideremos que es una de estas soluciones con valores en Los valores serán combinación lineal de las condiciones que cumple esto es

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Donde es una matrizque depende de . La invariancia traslacional de estas funciones implica que

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Por lo que el que este acotada o no, dependerá de los valores propios de la matriz Para analizar la estructura de esta matriz tomemos dos pares de condiciones iníciales que la diagonalicen, es decir

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Como las raices de serán distintas siempre que Con todo esto larelación (4) con (5) permite escribir

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Luego si crecerá sin límite en alguna dirección, de manera que dicho valor de no pertenecerá al espectro continuo. Sólo si será acotada y pertenecerá al espectro continúo. En este caso escribiendo , con k real, se comprueba que existen dos soluciones linealmente independientes , con



Por lo que, si defino las funcionesresulta que



Esta expresión se conoce como teorema de Bloch para los físicos y de Floquet para los matemáticos. Según este resultado para este tipo de ecuaciones diferenciales de segundo orden con periodicidad infinita hay dos soluciones independientes del tipo onda plana modulada por una función periódica de periodo a. Como la ecuación secular de (condición para que (5) tengasolución no nula) es



Y es real para real, si y solo si . Siendo una función analítica de , la desigualdad estricta se cumplirá sobre un conjunto unión de intervalos abiertos disjuntos, cuyos extremos satisfarán las ecuaciones . Concretamente un teorema debido a Birkhoff afirma que si son las raíces de ordenadas en sentidocreciente y citadas tantas veces como indique su multiplicidady análogamente son las de entonces se tiene



Esquemático: Estructura de bandas de energías permitidas y prohibidas de un potencial periódico.



En consecuencia, el espectro tiene estructura de bandas, es decir intervalos de energía permitidas, separadas por intervalos de energías prohibidas como se ilustra en la Figura 1

Esta estructura se da siempre si no es constante,aunque pueda ocurrir que en algunos casos desaparezcan muchas de las zonas prohibidas. Las anchuras de estas zonas tienden a cero al alejarnos hacia , en cuyo límite el espectro se asemeja, como era de esperar, al de la energía cinética.

Vamos a concretar estos resultados estudiando el potencial periódico más sencillo constituido por barreras cuadradas de anchura determinada situada a...