prácticas para álculo

Universidad de Costa Rica
Escuela de Matem´tica
a
MA-313: Matem´tica para econom´ y estad´
a
ıa
ıstica II
Pr´ctica 9: C´lculo vectorial
a
a
1. Calcule la distancia entre los puntos (1, 2, 3) y (2, 1, 5)
2. Para cualesquiera dos vectores u, v probar que se cumple
(a) ||u + v||2 + ||u − v||2 = 2||u||2 + 2||v||2
(b) ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 + 2uv
(c) ||u + v||2 − ||u − v||2 = 4uv3. Probar que las diagonales de un rombo se intersecan en un ´ngulo recto.
a
4. En cada caso, determine una ecuaci´n vectorial para la recta con las condiciones dadas:
o
(a) Paralela a

x−2
2

=y=

z+3
−3

y que contenga el punto (2, 3, −5)

(b) Que pase por el origen y que sea perpendicualar a las rectas
(x, y, z) = (2 − 3t, −3, 4 + t) y (x, y, z) = (t, 0, 3t)
(c) Que corteperpendicularmente a la recta

x+1
3

=

3−y
,z
2

= 1, en (−1, 3, 1)

5. Obtenga una ecuaci´n normal para el plano con las condiciones dadas, en cada caso:
o
(a) Es perpendicualar a la recta (x, y, z) = (2 − 2t, t, 1 + t) y contiene el punto (2, 1, 2).
(b) Es paralelo a la recta (x, y, z) = (2 − 2t, t, 1 + t) y contiene a la recta

2−x
2

=

y−1
−3

=

z+3
4

(c)Contiene el punto (0, −3, 1) y es paralelo al plano (x, y, z) = (2 − 3t + s, t − s, 5t).
6. Determine el punto de intersecci´n de la recta
o
2−x
z+1
=y=
2
−5
con el plano −3x + 4y − z = 6
7. Considere las l´
ıneas rectas dadas por las ecuaciones


 x = 1+t
 x = 3−t
y = 1−t
y = −1 + t
y


z = 1+t
z = 1 + 2t
(a) Pruebe que estas l´
ıneas se intersecan ortogonalmente.
(b)Muestre que A = (1, 1, 1, ), B = (3, −1, 1), C = (7/3, −1/3, 7/3), forman tri´ngulo
a
rect´ngulo y calcule su ´rea.
a
a
8. Considere las rectas L1 = {(2t, 3t − 1, t)/t ∈ R} y L2 = {(−t, 2t + 1, −2t + 3)/t ∈ R}.
1

(a) Calcule las ecuaciones cartesianas de dos planos paralelos π1 y π2 tales que L1 ⊂ π1 y
L2 ⊂ π 2 .
(b) D´ una ecuaci´n vectorial para la recta L3 que es perpendicular a L1 y aL2 y contiene
e
o
el origen.
(c) Encuentre el punto M donde L3 interseca π1 y el punto N donde L3 interseca π2 .
(d) Utilice c) para calcular la distancia entre las rectas L1 y L2 .
9. Decida si S es un subesacio de V y justifique su respuesta:
(a) S = {(x, y, z)/x − y = y + z} con V = R3
(b) S = {A ∈ M (n, R)/Aes sim´trica} con V = M (n, R).
e
(c) S = {x ∈ Rn /Ax = e1 } donde A es unamatriz m × n de rango m y V = Rn
10. Sea v = (α, β, 0, −1) y
W = CL{(2, −1, 3, 2), (−1, 1, 1, −3), (1, 1, 9, −4)}
Calcule α y β de modo que v ∈ W .
11. Sea




1 1 −2 1
A =  1 −1 1 0 
1 5 −8 3

y
S = x ∈ R4 /Ax = 0
determine una base para S
12. Sea
B = {(1, −1, 2), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}
(a) Demuestre que B es una base de R3
(b) Encuentre [v]B las coordenadas de v = (1, 2, −1)en la base B
13. Sea
U = {(x, x + y, 0)/x, y ∈ R}
(a) Verifique que U es un subespacio de R3
(b) Encuentre una base para U
(c) Determine un vector (a1 , a2 , a3 ) que sea ortogonal a cada vector de la base de U
(d) Represente en un gr´fico U y el vector (a1 , a2 , a3 )
a
(e) Justifique geom´tricamente que
e
U = {(x, y, z)/a1 x + a2 y + a3 z = 0}

2

14. Calcule la dimensi´n de
o
U ={(x, y, z) ∈ R3 /3x − y + 4z = 0}
15. Determine condiciones sobre a y b para que

 
 
−1
1
1



  2   2
a  
 
W = CL 
 2 , 2 , 2



−1
a+b
1


2 

  6 
, 
  6 


3
 

tenga dimensi´n 3.
o
16. Sea
W = {(x, x − y + z, y + 2z, z)/x, y, z ∈ R}
encuentre una base ortonormal para W y determine W ⊥ , el complementoortogonal de W
17. La distancia del vector x ∈ Rn al subespacio W de Rn se define como
||x − proyW x||
Calcule la distancia de (1, 1, 0, 1) al subespacio W = Cl{(1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}.
18. Considere las rectas L1 = {(1 − t, 0, 1 + t)/t ∈ R} y L2 = {(t, 2 + t, 0)/t ∈ R}
(a) Establezca si estas rectas se intersecan o no, y si tienen un punto de intersecci´n deo
termine dicho...