Practica de termo

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Este estudio se concretará a los casos de dos y tres variables,
dado que las aplicaciones, en su mayoría, se sujetan a esenúmero de argumentos.
LA INTEGRAL DOBLE
Definición. Sea una región R del plano " xy " tal que toda
recta paralela a uno de los ejes coordenados y que pasa por
un punto interior de la región,corta a su frontera en dos
puntos, siendo esta frontera una curva suave en pedazos. A
esta región se le llama Región Regular y se clasifica en dos
tipos:
a) Tipo I

R=

{( x, y ) a ≤ x ≤ b ; g (x ) ≤ y ≤ g ( x ) ; x, y ∈ }
1

2

y

g2 ( x )
R

g1 ( x )

a
b) Tipo II

R=

b

x

{( x, y ) h ( y ) ≤ x ≤ h ( y ) ; c ≤ y ≤ d ; x, y ∈ }
1

2

d

2

y h (y)
1

h2 (y )

R

c
Sea

una

función

z = f ( x, y )

x
continua,

valuada

positivamente y limitada en su dominio por una cierta región
regular R .

z z = f x, y
( )

y

R
x
Sepretende calcular el volumen del sólido limitado arriba por
la superficie de ecuación

z = f ( x, y ) y abajo por la Región

R.
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

3

Se divide la Región R en unnúmero finito de subregiones no
superpuestas, con lo que quedará definida una partición. La
división de R en “rejillas” se puede hacer de dos formas:

y

y

∆

R

R

∆y i

x

∆x i

( xi, y i )

( xi , y i )

Al área de la i-ésima subregión se le denota con
primer caso y

∆ xi ∆ y i

∆ Ai

x

en el

en el segundo.

Ahora se escogen, en cada subregión, puntosarbitrarios. Así,
para cada i-ésima subregión se tiene el punto
cual conduce a

zi = f ( xi , y i )

( xi , y i )

el

que es la altura del

elemento cilíndrico cuya área de la base es ∆ Ai o ∆xi ∆ y i ,
dependiendo del caso. Este elemento cilíndrico tiene como
base a la subregión y está limitado arriba por la superficie.
Como se observa en ambos casos en las figuras siguientes, si
se...