Prepa abierta

Matemáticas 3
Ecuaciones Lineales Una ecuación lineal es una ecuación de primer grado con 2 incógnitas cuya forma general es:

“aX + bY + c = 0”
“a, b, c” son constantes reales, “X, Y" son variables. Toda ecuación lineal graficada es una línea recta. Grafica la expresión “2X – 3Y – 12 = 0” 2X – 3Y -12=0 2X - 3(0) - 12=0 2X = 12 X = 12 / 2 X=6 2(0) – 3Y -12 = 0 -3Y = 12 Y = 12 / -3 Y = -4Función Lineal La función lineal esta definida por la ecuación:

f(x) = mX + b
Donde: f(x) =Y m= pendiente de la recta b= ordenada al origen (intersección en el eje “Y “ ) Además “m, b" son constantes reales

Ejemplo: Indica el valor de la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuación es: -7X - Y + 21 = 0 -7X -Y + 21 = 0 -Y = 7X – 21 Y = 7X – 21 / -1 Y = -7X + 21 m = -7 b = 21indica el valor de la pendiente y la ordenada al origen de la ecuación : 4x – ½ y + 2/5 = 0 - ½ Y = -4X - 2/5 Y = ( -4X -2/5 ) / - ½ Y = 8X + 4/5 m=8 b = 4/5 Pendiente La pendiente (m) indica cuantas unidades cambia la ordenada cuando “X” aumenta una unidad.

Para encontrar la pendiente de una recta que pasa por 2 puntos se utiliza la ecuación

m = Y2 – Y1 / X2 – X1

Encuentra la pendientede la recta que pasa por los puntos: P1 (1 , - 4) P2 ( 5 , 4 ) m= 4 – ( -4) / 5 – 1 m= 4 + 4 / 5 – 1 m= 8/4 m= 2 Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales esta formado por 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas; los métodos de resolución son 2: • Método grafico: se grafican las 2 ecuaciones en el mismo plano cartesiano; el punto de intersección de ambas líneas será elpunto solución del sistema. Si las líneas fueran coincidentes, entonces el sistema tiene una infinidad de soluciones; si las líneas fueran paralelas entonces el sistema no tiene solución y se le llama sistema inconsistente. Método algebraico: existen 2 métodos el de “suma o resta” y el de “sustitución”

•

Resolución del sistema de ecuaciones por el método de suma o resta X+Y–2=0 X–Y–4=0Eliminamos Y dado que tienen el mismo valor pero signo diferente y nos queda 2X – 6 = 0 2X = 6 X = 6/2 X=3 Sustituimos “X” en cualquier ecuación 3+Y–2=0 Y=-3+2 Y=-1 ( X , Y ) = (3 , -1)

Resuelve el siguiente sistema por el método de suma o resta 3X + 2Y – 6 = 0 X – 2Y – 10 = 0 4X – 16 = 0 4X = 16 X =16/4 X=4 3(4) + 2Y – 6 = 0 12 + 2Y – 6 = 0 2Y= -12 + 6 2Y = - 6 Y = -6 / 2 Y = -3 (X , Y) = (4 , -3)

Resolución del sistema de ecuaciones por el método de substitución 3X + 2Y = 5 ….(1) X + 3Y = 4 ….(2) Despejamos “X” de la ecuación (2) (por ser la mas simple) X + 3Y = 4 X = 4 – 3y ….(3) Sustituimos “X” en la ecuación (1) (no puede ser en la misma que se despejo) 3 ( 4 – 3Y) + 2Y = 5 12 – 9Y + 2Y = 5 12 – 7Y = 5 - 7Y = 5 – 12 -7Y = -7 Y = -7 / -7 Y=1 Sustituimos “Y” en la ecuación (3) X = 4– 3(1) X=4–3 X= 1

Ejercicio El perímetro de un rectángulo mide 26 metros y uno de sus lados es 3 metros mas largo que el otro. ¿Cuales son sus dimensiones? 2X + 2Y = 26 X=3+Y 2(3 + Y) + 2Y = 26 6 + 2Y +2Y = 26 6 + 4Y = 26 4Y = 26 – 6 4Y= 20 Y = 20 / 4 Y=5 Una vez encontrado “Y” lo sustituimos para encontrar “X” X=3+5 X=8

Resolución de sistemas de ecuaciones con 3 variables 2X – 3Y + Z = -1…(1) X + 2Y + Z = 2 …(2) -5X + 2Y- 3Z = -2 …(3) Utilizando ecuación (1) y (2) Invertimos todos los signos de la ecuación (2) para poder eliminar “Z” 2X – 3Y + Z = -1 -X – 2Y – Z = -2 X – 5Y = -3 ….(4) Utilizando ecuación (2 ) y (3) Multiplicamos la ecuación (2) por el valor de Z en la ecuación (3) 3X + 6Y + 3Z = 6 -5X + 2Y – 3Z = -2 -2X + 8Y = 4 …(5)

Ocupamos ecuación (4) y (5) Multiplicamosla ecuación (4) por el valor de X en la ecuación (5) (2)X – 5Y = -3 -2X + 8Y = 4 2X – 10Y = -6 -2X + 8Y = 4 - 2Y = -2 Y = -2 / -2 Y=1 Para encontrar el valor de “X” sustituimos “Y” en la ecuación (4) o (5) X – 5(1) = -3 X – 5 = -3 X=5–3 X=2 Para encontrar el valor de “Z” sustituimos el valor de “X” y “Y” en cualquiera de las 3 primeras ecuaciones X + 2Y + Z = 2 2 + 2(1) + Z = 2 4+Z=2 Z=2–4 Z =...