Presentaci N5

Funciones implícitas
Derivada de
la función implícita

Funciones definidas implícitamente I
Función definida implícitamente por la ecuación F(x, y) = K

Ejemplos: E1. y − 2x =
8
2

9
E2. x + y =
E3. Sen(xy) = 5
1
2
2
3
xy
−
Ln(x
+
y
)
+
3y
x
=
0 ?????
E4.
2

2

F:D ⊆  → 
2

Se dice que la ecuación F(x, y) = K define implícitamente
la función y = y(x) en un entorno del punto (x 0 , y 0 )interior
de D cuando: y 0 = y(x 0 ) de modo que F(x 0 , y 0 ) ≡ K

Problemas que se plantean:
Dada F(x, y) = K
¿Define y = y(x)? ¿Dónde?
¿Es única? ¿Es derivable?
¿Se puede calcular la derivada
sin conocer explícitamente la y = y(x)?

TEOREMA de la F. I:
2
F:D ⊆  → 
La ecuación F(x, y) = K define implícitamente una única función
derivable y = y(x) en un entorno N(x0, y0) del punto interior
(x 0 , y0 ) de D , si se verifican las condiciones siguientes:
1
C
1) F(x, y) es de clase
en un entorno de (x0, y0)

2) ∂F(x 0 , y 0 ) ≠ 0
∂y

OBSERVA:
1: El T de la F I, es CS
2: Si ∂F(x 0 , y 0 ) ≠ 0 , la ecuación definiría x = x(y)
∂y

La derivada de la función implícita
Supuesto que se verifican las condiciones del teorema,
el primer miembro de la ecuación F(x, y) = K es una
función compuesta de x:F(x, y(x))

Aplicando la regla de la cadena: ∂F(x,y) + ∂F(x,y) dy(x) =
0
∂x

de donde:

∂F(x,y)
dy(x)
∂
x
= −
∂F(x,y)
dx
∂y

∂y

dx

APLICACIóN

Dada z = f(x, y) calcular la tangente a la
curva de nivel f(x, y) = K por (x, y) = (a, b)

b

F(x,y) = K 0
a

y

EJEMPLO: La RMS
(relación marginal de sustitución)
RMS
(TMS)

∆y

∂f(a,b)
∂x
∂f(a,b)
∂y

(x,y) = (a,b)

∂f(a,b)
m = y ' = − ∂x
∂f(a,b)
∂y

∆y≈ y ' ∆x

f(x,y) = K
∆x =−1

x

EJEMPLOS NUMERICOS:

E1. Hallar la ecuación de la recta tangente a la
curva de nivel de la función
que pasa por
E2. pendiente de la tangente y RMS para
1
2

U(x,y) = x y

1
2

1 1
2 3

Q(K,L) = K L

en (1, 4)
en (1, 4)

Funciones definidas implícitamente II
Un caso algo más general:
F(x, y, z) = K
¿Define implícitamente z= z(x, y) ?
¿Dónde?
¿Es única?
¿Esdiferenciable?
¿Se pueden calcular las d. parciales sin conocer
la expresión explícita de z?

Teorema:

1) F de clase C1 (continua y derivadas parciales continuas)
en un entorno de( x 0 ,y 0 )
2) ∂F(x 0 ,y 0 ) ≠ 0
∂z
Existe z= z(x1, x2, . . xn) única y diferenciable
(1) y (2)
en un entorno de (x 0 ,y 0 )

⇒

∂F(x 0 ,y 0 )
Se tiene además que: ∂z(x 0 ,y 0 ) = −
∂x
∂F(x 0 ,y 0 )
∂x
∂z
(Aplicando la reglade la cadena)

∂F(x 0 ,y 0 )
∂z(x 0 ,y 0 )
∂y
= −
∂F(x 0 ,y 0 )
∂y
∂z

Funciones definidas implícitamente III
Un caso más general:
F(x1, x2, . . . xn, z) = K
¿Define implícitamente z= z(x1, x2, . . xn) ?
¿Dónde?
¿Es única?
¿Es diferenciable?
¿Se pueden calcular las d. parciales sin conocer
la expresión explícita de z?

Teorema: nF( x 0 , z) = K

1) F de clase C1 (continua y derivadas parcialescontinuas)
en un entorno de x0

∂
F(
x
)
0
2)
≠0
∂z
Existe z= z(x1, x2, . . xn) única y diferenciable
(1) y (2)
en un entorno de x0

⇒

∂F( x 0 )
∂z( x 0 )
∂xi
Se tiene además que:
= −
∂
F(
)
x
∂
x
0
i
(Aplicando la regla de la cadena)
∂z

Funciones definidas implícitamente IV
Sistemas de ecuaciones

F1(x,y,z) = K1 
Caso elemental:

F2 (x,y,z) = K 2 
¿Define implícitamente x = x(z) e y = y(z)?Preguntas: ¿Dónde? ¿Unicas? ¿diferenciables?
¿Pueden calcularse las derivadas sin obtener las
funciones explícitas?
Respuestas: Teorema de existencia
Cálculo de derivadas:
resolviendo un sistema lineal

Mediante un ejemplo:

¿Podemos asegurar que el sistema de ecuaciones

3x yz − zy =
2

2 2
xyz + 2y z =
10 
2

2

define implícitamente funciones derivables
x = x(z) e y = y(z) en un entorno de(1, 2, 1)?
dx
dy
¿Podemos calcular la
y la
dz
dz
sin obtener explícitamente las funciones?
¿Qué condiciones deben cumplirse?

LECTURAS:
¿Dónde buscar?
Sydsaeter y Hammond

Capítulo 5. Sección 5.2 Págs. 117 a 122
Capítulo 16 . Sección 16.2 Págs 429 a 437

Larson y Edwards

Capítulo 13, Sección. 13.5, Págs. 925 a 930

LO QUE
Buscar en las
referencias
Resolver los
ejercicios
generalizar

HAY QUE...