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PROPAGACION Y RADIACION
ELECTROMAGNETICA II
Miguel Delgado Le´n
o
28 de Julio del 2005

Cap´
ıtulo 1
Propagaci´n de Ondas
o
Electromagn´ticas
e
1.1

Ecuaciones de Maxwell

Hasta ahora hemos estudiado las ecuaciones diferenciales de los campos
electromagneticos cuasi estaticos CECE:
∇ · D(r, t) = ρ(r, t)
∇ · B(r, t) = 0

Ley de Gauss

Ley de Gauss Magn´tico
e

∂
B(r, t)∂t
∇ × H(r, t) = J(r, t)

∇ × E(r, t) = −

Ley de Faraday
Ley de Ampere

(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)

con las ecuaciones constitutivas:
D(r, t) = ε E(r, t)

B(r, t) = µ H(r, t)

J(r, t) = g E(r, t) (1.5)

donde ε, µ y g son, la permitividad, la permeabilidad y la conductividad
del medio, respectivamente. Maxwell se dio cuenta que la ultima ley
´
fallaba (ecuaci´n 1.4). Comosabemos: La divergencia de un rotacional
o
siempre es cero. Entonces aplicando la divergencia a la ley de Ampere,
tenemos:
∇ · ∇ × H(r, t) = ∇ · J(r, t)

=⇒

0 = ∇ · J(r, t)

Esto no es verdad, contradice la ley de la conservaci´n de la carga que
o
se expresa como:
∇ · J(r, t) +

∂
ρ(r, t) = 0
∂t

=⇒
1

∇ · J(r, t) = −

∂
ρ(r, t)
∂t

(1.6)

´
´
2CAP´
ITULO 1.PROPAGACION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS
Maxwell supuso que a la ley de Ampere le faltaba un t´rmino que
e
le llamo: Densidad de corriente de desplazamiento Jd (r, t). As´ la
ı,
correci´n queda:
o
∇ × H(r, t) = J(r, t) + Jd (r, t)

(1.7)

Est´ ecuaci´n no debe contradecir la ley de conservaci´n de la carga.
a
o
o
Aplicando la divergencia a (1.7):
∇ · ∇ × H(r, t) = ∇ · J(r, t) + ∇ · Jd (r,t)
0 = ∇ · J(r, t) + ∇ · Jd (r, t)
Para que est´ ecuaci´n sea equivalente a (1.6), debe cumplirse que
a
o
∇ · Jd (r, t) =

∂
ρ(r, t)
∂t

reemplazando (1.1), es decir la ley de Gauss en est´ ecuaci´n:
a
o
∇ · Jd (r, t) =

(∂
)
∂
∇ · D(r, t) = ∇ ·
D(r, t)
∂t
∂t

Entonces, la densidad de corriente de desplazamiento ser´:
a
Jd (r, t) =

∂
D(r, t)
∂t

Las leyesenunciadas al inicio de la exposici´n con la correcci´n, se
o
o
conocen como las ecuaciones de Maxwell en la forma diferencial:
∇ · D(r, t) = ρ(r, t)
∇ · B(r, t) = 0

Ley de Gauss

(1.8)

Gauss Magn´tico
e

(1.9)

∂
B(r, t)
Ley de Faraday
(1.10)
∂t
∂
∇ × H(r, t) = J(r, t) + D(r, t)
Ampere-Maxwell
(1.11)
∂t
Se puede demostrar que las condiciones de frontera entre dos medios
no semodifican debido a este cambio. Aqui un repaso:
∇ × E(r, t) = −

D2 n (r, t) − D1 n (r, t) = σ(r, t)
B2 n (r, t) = B1 n (r, t)
E2 t (r, t) = E1 t (r, t)

1.2. ECUACIONES DE MAXWELL FASORIAL

3

H2 t (r, t) − H1 t (r, t) = Kn (r, t)
o la expresi´n equivalente
o
n2 × [H2 (r, t) − H1 (r, t)] = K(r, t)
ˆ
Ejemplo 1 Demostrar que la ley de Gauss magn´tico y la ley de Farae
day sondependientes
Soluci´n Aplicando divergencia a (1.10), tenemos:
o
(

∇ · ∇ × E(r, t) = ∇ · −

)
∂
∂
B(r, t) = − ∇ · B(r, t)
∂t
∂t

El lado izquierdo siempre es cero, entonces
0=−

∂
∇ · B(r, t)
∂t

El lado derecho tambi´n, siempre debe ser cero
e
∇ · B(r, t) = 0
La contribuci´n de las ecuaciones de Maxwell sirve para fundamentar
o
la teor´ del flujo de potencia electromagn´ticoy la teor´ de las ondas
ıa
e
ıa
electromagn´ticas
e

1.2

Ecuaciones de Maxwell Fasorial

Cuando los campos electromagn´ticos varian en forma armonica (senoidal)
e
con frecuencia angular ω = 2πf , (f es la frecuencia en Hz) se puede
trabajar con fasores:

 E(r, t)












 E(r)





 D(r) 
D(r, t)
 jωt

e
= Re 

 H(r) H(r, t) 










B(r, t)







(1.12)

B(r)

donde E(r), D(r), H(r) y B(r) son fasores
Ejemplo 2 Expresar el siguiente campo vectorial (onda), en forma
fasorial
ˆ
ˆ
H(r, t) = x 2 sen(ω t − β0 z) + y 3 cos(ω t − β0 z) A/m

´
´
4CAP´
ITULO 1. PROPAGACION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS
Soluci´n Utilizando la notaci´n de Euler
o
o
ej θ = cosθ + j...