Pribabilidad

Probabilidad conjunta y condicional
Probabilidad condicional p(B/A)= p(AB)/p(A) p(A/B)=p(AB)/p(B) Luego: P(AB)=p(A)*p(B/A)=p(B)*p(A/B) Teorema de Bayes Probabilidad Conjunta p(AB)= p(A)*p(B/A) p(AB)=p(B)*p(A/B)

Recordar que: si p(B/A)=p(B) son independientes. B no depende de A si p(A/B)=p(A) son independientes. A no depende de B => p(AB)=p(A)*p(B) =>p(AB)=p(A)*p(B)

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Probabilidad Conjunta y Marginales
Probabilidad Conjunta P(AB) A1 A2 B1 B2 Bj … Bm Propiedades ∑k p(Ak)=1 P(A) Prob marginal p(Ai)=∑h p(AiBh) ∑h p(Bh)=1 ∑k,h p(AkBh)=1 p(AiBj) p(Bj)=∑k p(AkBj) Ai … An Prob marginal P(B)

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Probabilidad Condicional
p(A/B) A1 A2 B1 B2 Bj … Bm p(B/A) A1 A2 B1 B2 Bj … Bm p(AiBj)/ p(Ai) Ai … An p(AiBj)/ p(Bj) Propiedad ∑k p(Ak/Bj)=1 Ai … An

Importante: Dirección de la flecha para leer la tabla

∑h p(Bh/Ai)=1
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EjemploClima=(sol, lluvia) 10% 90% Sol Lluvia 10% ac. 30% ac. No Accidente Probabilidad Condicional Accidente/Clima Si P(A/C) Si No sol 0,10 0.90 lluvia 0.30 0.70

Calcular p(sol/Si) Es una probabilidad a posteriori “Si se conoce que hubo un accidente cuál es la probabilidad que haya sido con sol o con lluvia.

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Ejemplo
Probabilidad Conjunta p(C A)=p(C)*p(A/C) P(C A) Si No sol p(sol)*p(Si/sol)=0.01 p(sol)*p(No/sol)=0.09 p(sol)=0.10 Probabilidad Condicional P(C / A) Si No p(C/A)=p(C A)/p(A) sol P(sol y Si)/p(Si)=0.035 lluvia p(lluvia y Si)/ p(Si)=0.965 lluvia p(lluvia)*p(Si/lluvia)=0.27 p(lluvia)*p(No/lluvia)=0.63 p(lluvia)=0.90 p(Si)=0.28 p(No)=0.72

P(sol y No)/p(No)=0.125p(lluvia y No)/ p(No)=0.875

Respuesta interpretación Si hubo accidente es más probable (con 96.5%) que haya sido con lluvia
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Ejemplo Muestreo computacional
Ejemplo discreto A={0,1} p(A)={0.1, 0.9} //0 sol 1 lluvia B={0,1} // 0 accidente 1 no accidente p(B=0/A=0)=0.10;P(B=0/A=1)=0.30 Calcular P(AB) por muestreo computacional
int generaA() {probacum={0.1,1} // para este ejemplo U=rand () for (i=0 to 1) if (U =  x ∫ x f ( x) dx x

< X >=

∑x
i

i

N

N es el número de muestras

•

Varianza
σ x2 = ∑ ( x − < X >) 2 p( x)
x

= ∑ ( x 2 − 2 x < X > + < X > 2 ) p ( x) =
x

= ∑ x p ( x) − 2 < X > ∑ x p ( x ) + < X >
2 x x

2

∑ p( x) =
x

σ x2 =∑ (x − ∑ N )
i

xi

2

i

i

N

=< x 2 > −2 < X > 2 + < X > 2

N es el número de muestras

σ x2 =< x 2 > − < X > 2

•

Desvío estándar

σx = σ = < x > − < X >
2 x 2

2

σx =

∑ (x − ∑ N )
i

xi

2

i

i

N

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Indicadores (cálculoanalítico)
 ∑ x p( x) • Promedio o media < X >=  x  ∫ x f ( x) dx x
Ejemplo discreto
X={0,1,2,3} p(x)={1/8,3/8,3/8,1/8} =0*1/8+1*3/8+2*3/8+3*1/8=12/8=1.5

p(x) 1

0 0 Ejemplo continuo
x =1

1 2 3

x

f(x)
1

2 < X >= ∫ x 2 x dx = x 3 = 2 / 3 x=0 3 0
0

f(x)=2x

1

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Indicadores (cálculo analítico)
Varianza y Desvío Estándar Ejemplo discreto
X={0,1,2,3} p(x)={1/8,3/8,3/8,1/8}

p(x) 1

Media
=0*1/8+1*3/8+2*3/8+3*1/8=12/8=1.5 caras

0 0 1 2 3 x

2 σ x = ∑ ( x − < X >) 2 p ( x ) = (0 − 1.5) 2 *1 / 8 + (1 − 1.5) 2 * 3 / 8 + (2 − 1.5) 2 * 3 / 8 + (3 − 1.5) 2 *1 / 8 = 3 / 4 caras 2 x 2 σ x =< x 2 > − < X > 2 = 0 2 *1 / 8 + 12 * 3 / 8 + 2 2 * 3...