Principio De Adici N

Principio de adición:
El principio de adición puede considerarse como el más básico y simple de entre los principios para contar elementos de un conjunto. Se trata de uno de los principios básicos de la combinatoria y establece lo siguiente:
Si una tarea se puede realizar de dos formas posibles, dando la primera “m” resultados posibles y la segunda “n” resultados posibles, entonces la tareacompleta puede arrojar “m+n” formas posibles.
Esto queda reflejado con mayor claridad con un sencillo ejemplo del tipo:
Un alumno debe elegir de entre tres listas un ejercicio para entregar. La primera lista tiene 30 ejercicios, la segunda 20 ejercicios y la tercera 15 ejercicios. ¿Entre cuántos ejercicios puede elegir el alumno?
La respuesta al ejemplo anterior es, obviamente, que el alumnopodrá elegir entre 65 ejercicios. No obstante, lo que parece obvio a simple vista, lleva tras de sí una demostración matemática en la que se va a fundamentar el principio de adición o de la suma.
Antes de comenzar con esta demostración, daremos otra definición más “formal”, en términos matemáticos, de este principio de adición:
Si A, B son conjuntos finitos disjuntos entonces:

.

Donde |A| y |B|son, respectivamente, la cardinalidad o número de elementos de cada conjunto (en el ejemplo anterior tendríamos 3 conjuntos de cardinalidad 30, 20 y 15 respectivamente).
Esta definición se puede generalizar para más de dos conjuntos:
Si  son conjuntos finitos disjuntos por pares entonces
.

Al hablar de “conjuntos finitos disjuntos por pares” nos referimos a una colección de conjuntos finitos en laque, cualquier par de estos conjuntos, no tienen ningún elemento en común, es decir, A1∩A2∩A3... ∩An= ∅. Esta condición debe darse en la definición anterior para que se pueda cumplir (si en nuestro ejemplo anterior una de las listas tuviera un ejercicio repetido o coincidiese algún ejercicio de una lista con el de otra, las opciones posibles se reducirían y ya no serían 65).

Así pues quedadefinido el principio de adición y podemos pasar a su demostración que anteriormente hemos mencionado.
Demostracion:
Aplicamos inducción al número de conjuntos que designaremos por “n”. Para ello comprobamos primero que el principio de cumple para n=2:
Sean A1 y A2 dos conjuntos finitos tales que A1∩A2= ∅. Entonces si
A1 = {a1, a2, … , aq} y A2 = {b1, b2, . . . , br}
Al ser disjuntos no tendrán ningúnelemento común y podremos escribir lo siguiente:
A1∪A2 = {a1, a2, . . . , aq, b1, b2, . . . , br}
Concluimos entonces que:
|A1∪A2| = q + r = |A1| + |A1|
Así una de nuestras definiciones anteriores queda demostrada. Pero ahora debemos generalizar lo comprobado de n=2 a n=p
Continuando con la inducción debemos suponer que el teorema es cierto para n=p, es decir, si A1, A2, . . . , Ap son unafamilia de conjuntos finitos y disjuntos dos a dos, entonces:

|=

A continuación comprobaremos para continuar con nuestra inducción que el teorema es cierto para n=p+1. Sea entonces A1, A2,…, Ap, Ap+1 una familia de
conjuntos finitos disjuntos por pares, entonces:

= A1UA2U…UApUAp+1 = (A1UA2U…UAp)UAp+1 =UAp+1

A raíz de la imposición de que A1,A2,…An sean conjuntos disjuntos por pares es fácildeducir lo siguiente:

) ∩ Ap+1 = (A1 U A2 U…U Ap) ∩ Ap+1 =
(A1 ∩ Ap+1) U (A2 ∩ Ap+1) U…U (Ap ∩ Ap+1) = 0

Por lo tanto
|| =|) U Ap+1| = ||+|Ap+1| = +|Ap+1| =


Quedando así demostrada nuestra igualdad inicial:

=

El principio de la suma en torno al cual gira este primer principio de adición tiene innumerables aplicaciones. Sin ir más lejos, la citada al comienzo de este principio o la que sigue:Queremos determinar el número de enteros múltiplos de 7 o de 11 entre el 1 y el 50. Los números que debemos tener en cuenta en este ejemplo son de dos tipos, los múltiplos de 7(A) y los de 11(B). Antes de comenzar podemos comprobar que no existe ningún número entre el 1 y el 50 que sea de los dos tipos a la vez (múltiplo de 7 y a la vez de 11), por lo tanto estamos hablando de conjuntos...