Probalidiadad Y Estadistica

UNIVERSIDAD ANDRES BELLO
FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS


PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
INGENIERIA CIVIL
TALLER DE PROBABILIDADES
Profesor: Osvaldo Landaeta M.



Problema 1).- Considere el sistema siguiente:







Donde las probabilidades de funcionamiento de cada componente son:
[pic]; [pic]; [pic] y [pic]
Suponiendo que el funcionamiento de cadacomponente es independiente de las demás.
a) Determinar la probabilidad de que el sistema funcione.
b) Sabiendo que el sistema funciona. Determinar la probabilidad de que alguna de las componentes 2 o 6 haya fallado.
Solución:
Sean los eventos: [pic]La componente i-ésima funciona [pic]
[pic]El sistema funciona.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Problema 2).- Los socios de una gran compañía invierten parte de sus ganancias en dos tipos de negocios: acciones e inmobiliaria. El riesgo de las inversiones se ha clasificado como baja y alta, en las proporciones 0,25 y 0,75, respectivamente. Además, han estimado que si hay bajo riesgo, la probabilidad de invertir en acciones es 0,6,mientras que la probabilidad es 0,8 para la inversión en inmobiliaria. Por otro lado, si se tiene alto riesgo, la probabilidad de invertir en acciones de 0,2 mientras que es probabilidad es 0,3 para la inversión en inmobiliaria.
Los socios invierten en acciones, independientemente de la inversión que hagan en inmobiliaria.
Si se escoge un socio de la compañía al azar, y suponiendo que ha invertido enacciones, determine la probabilidad de haber invertido en inmobiliaria.

Solución:
Sean los eventos:
[pic]El socio invierte su ganancia en acciones
[pic]El socio invierte su ganancia en inmobiliaria
[pic]El riego de la inversión es alta.
[pic]El riego de la inversión es baja.

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Problema 3).- El número de aviones, N(t),que llegan a un aeropuerto en el intervalo [0; t] sigue un proceso de Poisson de tasa 2 aviones por minuto.
a) Determinar la probabilidad de que lleguen al menos 2 aviones en 5 minutos.
b) Determinar la probabilidad de que no lleguen aviones en los 3 minutos siguientes al último periodo de 3 minutos en que llegaron 1 o más aviones.
c) ¿Cuál es al probabilidad de que lleguen 4 aviones en 7minutos, si sabemos que en los primeros 5 minutos han llegado 2 aviones?.
Solución:
[pic].
a) Sea la v.a. [pic]Número de aviones que llegan a una aeropuerto en 5 minutos. Entonces [pic], luego:
[pic]
b) Sean las v.a. [pic]Número de aviones que llegaron a un aeropuerto en los últimos 3 minutos.
[pic]
[pic]Número de aviones que llegaron a un aeropuerto en los siguientes 3 minutos.
[pic] [pic]Nos piden hallar: [pic]. Como las v.a. son independientes en cada periodo (proceso de Poisson), entonces: [pic]
c) Sean las v.a. [pic]Número de aviones que llegan a una aeropuerto en un periodo de 7 minutos.
[pic]
[pic]Número de aviones que han llegado a una aeropuerto en los primeros 5 minutos del periodo de 7 minutos.
[pic]
Nos piden hallar: [pic]. Como ya han llegado 2 aviones en losprimeros 5 minutos, tenemos que definir una nueva v.a. [pic]Número de aviones que llegan a un aeropuerto en los últimos 2 minutos del periodo de 7 minutos, en el cual deben llegar los otros 2 aviones, es decir:
[pic]. Como [pic] así:
[pic]

Problema 4).- Sea X una variable aleatoria con f.d.a. [pic] para cada x real.
a) Verificar que [pic]es efectivamente una f.d.a.
b) Determinar su f.d.p.
c)Calcular [pic] y [pic]
d) Determinar la f.d.p. de la variable aleatoria: [pic]
Solución:

a) [pic] es decreciente, así que si [pic]entonces [pic] y, por tanto, [pic] . Así pues F es creciente y, evidentemente, continua.
Además [pic]y [pic] . En resumen F es una función de distribución.
b) Su f.d.p. es [pic] definida en todos los reales.

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Problema 5).- Sea X...