Problema de keppler

PROBLEMA DE KEPLER Leyes de Newton de la din´mica y de la gravitaci´n a o
• Ley fundamental de la din´mica. Masa inercial a

  dx  =v  dt  dv 1   = F (t; x, v) dt m
• Ley de Newton de la gravitaci´n universal. Masas gravitatorias. o Discusi´n sobre la noci´n de part´ o o ıcula puntual.

F12 = −G

M1 M2 n12 (figura) 2 r

1

• Sistemas de varias part´ ıculas. Principio desuperposici´n. Subsistemas o

Fa =
b(=a)

Fab = −GMa
b(=a)

Mb 2 nab rab

• Punto de vista de la teor´ de campos Campo creado por un cuerpo extenso. ıa Masa gravitatoria activa y masa gravitatoria pasiva
N

g = −G
a=1

Ma na , 2 ra

g = −G
V

dM n 2 r (figura)

⇒

rot g = 0 ,

g = −grad Φ

div g = −4πGρ

2

• Ecuaci´n de movimiento de una part´ o ıcula de prueba en uncampo externo. Estrellas fijas. Ley de la Inercia y sistemas de referencia inerciales

dv M = − grad Φ dt m Problema de Kepler newtoniano
• Qu´ es el problema de Kepler? e • Conservaci´n de la energ´ y del momento angular (por unidad de masa) o ıa

  ˙  E = 1 (r2 + r2θ2 + r2 sin2θϕ2) − GM ˙ ˙ 2 r   J =x∧v ⇒ x·J =0

(figura)

3

• Elecci´n del plano θ = π/2 o

   E = 1 (r2 + r2ϕ2)− GM ˙ ˙ 2 r   J = r2ϕ ˙ ˙ (⇒ A = J/2)
• Potencial efectivo

(figura)

J2 1 2 GM ˙ E = r + Φef (r) , Φef (r) ≡ 2 − (figura) 2 2r r  1 J2   Φef (r) = 0 ⇒ r = ≡ p  GM 2GM 2 ⇒ Φef (p) = − 2  2p   Φ (r) = 0 ⇒ r = J = p ef GM

4

• Ecuaciones de la trayectoria

 J 2 2GM  2  r = 2E − + ˙ r2 r   ϕ= J ˙ r2 (puntos de retroceso)
• Ecuaci´n de la orbita o ´

⇒ dϕ =

J/r2 2 E −Φef (r)

dr

2 1 + u = 2 (E + GM u) , u ≡ J r  2   p≡ J   p GM ⇒ r= ♣  2 e cos(ϕ − ϕ0) + 1 GM  e ≡ 1 + 2pE ≥ 0 ,  E≥−  GM 2p du dϕ
2
5

2

• Otra manera de obtener la orbita ´
2 GM p GM 2 {E, J} → {p, e} ⇒ r + ˙ −1 = e p r p     r = e GM sin ϕ ˙ ˜ p ⇒ p    − 1 = e cos ϕ ⇒ − p r = −eϕ sin ϕ ˙ ˜ ˙ ˜ ˜ 2 r r 2

˙ = J ⇒ ϕ = ϕ − ϕ0 ˜ ˜ ⇒ ϕ r2 luego la segunda relaci´n dela llave es la ecuaci´n de la ´rbita. o o o

6

• Vector de Runge–Lenz

e=

r 1 v∧J − GM r

⇒

 e · J = 0   de = 0  dt

(verificarlo)

⇒ G2M 2(e2 − 1) = 2EJ 2
→ Ecuaci´n de la orbita o ´

J2 e · r = er cos(ϕ − ϕ0) = −r ♣ GM

(figura)

7

• Estados ligados: E < 0 ⇒ 0 ≤ e < 1

(x + ae)2 y 2 + 2 =1 2 a b

  a ≡  

p GM = 1 − e2 −2E  J b≡√ p  =√  −2E 1 − e2(figura , ϕ0 = 0)

(ϕ0 determina el periastro: m´ ınimo de r)  a(1 − e2) p   r0 = = = a(1 − e) = a − c    e+1 1+e p rπ/2 = p r= ⇒  e cos(ϕ − ϕ0) + 1    r = p = a(1 + e) = a + c  π 1−e c= a2 − b 2 = p e 2 1−e
8

⇒ e=

c a

J J T a3 ˙ A= ⇒ πab = T ⇒ = ♣ 2 2 2π GM    a = distancia media = 1 (a − ae + a + ae)   2 2π   b = distancia promedio = 1  r(ϕ) dϕ  2π 0
• Estadosde difusi´n: E > 0 ⇒ e > 1 o

2

(x − ae)2 y 2 − 2 =1 a2 b

  a ≡  

GM p = e2 − 1 2E  J b≡√ p  =√  2−1 e 2E

 √  c = a2 + b 2 =   e = c a p e+1

p e 2−1 e

rm = distancia m´ ınima = c − a = ae − a =
9

• Fen´meno de difusi´n o o

  E = 1 v2 2 ∞  J = r∞ v∞ sin α∞ = b v∞

(dos figuras)

1 r = ∞ ⇒ e cos ϕ∞ + 1 = 0 ⇒ ϕ∞ = π ± arccos e 1 1 π−χ χ ⇒ χ = π − 2arccos ⇒ = cos = sin e e 2 2 b2 = a2(e2 − 1) ⇒ b = χ GM cotg ♣ 2E 2

• Ecuaci´n de segundo orden de la orbita (Binet) o ´

d2u GM +u= 2 dϕ2 J
10

Problema newtoniano de dos cuerpos (Estrellas dobles)
• Ecuaciones de movimiento

   M1 dv1 = F12 ≡ −G M1M2 n12  dt r2 ♣    M2 dv2 = F21 ≡ −G M1M2 n21 dt r2   r ≡ |x1 − x2| = |x2 − x1|  e12 ≡ 1 (x1 − x2) , n21 = −n12 r
• Movimiento delcentro de masas

dvCM − → d (M1v1 + M2v2) = 0 ⇒ = 0 ⇒ vCM = Cte ♣ dt dt

11

• Movimiento relativo (1 respecto de 2 , p. e.)

dv 1 = F12 , dt µ M dv = −G 2T n dt r (calcular la fuerza de inercia) ⇒ = −G

1 1 1 ≡ + µ M1 M2 M2 n + FI 2 r ♣ (figura)

v ≡ v1 − v2 MT ≡ M1 + M2   JR = x ∧ v ,  (x ≡ x1 − x2) (invariantes por 1 ↔ 2)

 E = 1 v 2 − G MT  R 2 r ⇒ r=

p ˜ ♣ (ϕ :...