Problema24

Cátedra de Ingeniería Rural

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real

Una viga isostática de 5 m de luz, con un voladizo de longitud l está
cargada con una cargauniformemente repartida de 5 t/m. Sabiendo que la viga
es de inercia constante, determinar la longitud del voladizo para que el
momento negativo del apoyo sea igual al momento positivo del vano.

En primerlugar calculamos las reacciones:

∑M

A

=0

RB ⋅ 5 − 5 ⋅ 5 ⋅

5
L

− 5 ⋅ L ⋅ 5 +  = 0
2
2


RB =

25
L  25 
L2

+ L ⋅ 5 +  =
+  5 ⋅ L +
2
2 2 
2


RB =

25 10 ⋅ L + L2 1
2
+
= ⋅ (5 + L)
2
2
2

∑M

B





=0

RA ⋅ 5 − 5 ⋅5 ⋅

L
5
+ 5 ⋅L ⋅ = 0
2
2

(

25 L2 1
RA =
−
= ⋅ 25 − L2
2
2 2

)

Una vez calculadas las reacciones, obtenemos la expresión del
momento flector en el tramoentre apoyos:
1

Cátedra de Ingeniería Rural

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real

0 < x ≤ 5m

∑M

x

=0

x2
RA ⋅ x − 5 ⋅
=M
2
M=

(

)

1
5
⋅ 25 − l 2 ⋅ x − ⋅ x 2
2
2Para obtener el momento máximo positivo, Mmax+, derivamos M e
igualamos a cero.
M' = 0 →

(

)

1
5
⋅ 25 − l 2 − ⋅ 2 ⋅ x = 0
2
2

Obtenemos de esta manera donde se halla el momento máximo en el
vano:x=

(

1
⋅ 25 − l 2
10

)

(

)

(

5 1
1
1
⋅ 25 − l 2 ⋅
⋅ 25 − l 2 − ⋅
⋅ 25 − l 2
2
10
2 100
2
1
=
⋅ 25 − l 2
40

Mmax + =
Mmax +

(

)

(

)

2

)

2

Cátedra de Ingeniería Rural

EscuelaUniversitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real

El momento máximo negativo se encuentra localizado en el apoyo, por lo
que para obtener la expresión de Mmax- basta introducir x=5 en la ecuación demomentos obtenida anteriormente.

(

Mmax −

Mmax +

)

(

)

1
1
1
1
5 ⋅ l2
2
2
2
= ⋅ 25 − l ⋅ 5 − ⋅ 5 ⋅ 5 = ⋅ 125 − 5 ⋅ l − ⋅ 125 = −
2
2
2
2
2

Por tanto, para obtener la longitud del voladizo lbasta con igualar
= Mmax −

(

1
⋅ 25 − l 2
40

(25 − l )

2 2

)

2

=

5 ⋅ l2
2

= 100 ⋅ l 2

l 4 − 150 ⋅ l 2 + 625 = 0
L1 = 2.07 m
l2 =

150 ± 150 2 − 4 ⋅ 625 150 ± 10 2 ⋅ 2
=
2
2
L2 = 12.07 m

3...