Problemas de integral de superficie

La integral de superficie

Problemas resueltos
1. Calcule el área de la porción del paraboloide z = x2 + y 2 que está comprendida entre los planos z = 0 y z = 1. Solución: La intersección del paraboloide con el plano z = 0 es el punto (0, 0) y con el plano z = 1 es la circunferencia x2 + y 2 = 1. La región limitada por la proyección de dicha circunferencia sobre el plano XY es D = (x, y) ∈ R2 :x2 + y 2 ≤ 1 .

Podemos considerar la siguiente parametrización: r(x, y) = (x, y, x2 + y 2 ), (x, y) ∈ D.

De esta manera S = r(D), siendo S la superficie descrita en el enunciado. Su producto vectorial fundamental es: N (x, y) = (−2x, −2y, 1),
El área solicitada será: a(S) =
D

y

N (x, y) =

4x2 + 4y 2 + 1.

N (x, y) dxdy =
D

4x2 + 4y 2 + 1 dxdy.

Problemas resueltos
Estaintegral la haremos mediante un cambio de variable a coordenadas polares. x = ρ cos ϕ y = ρ sen ϕ a(S) =
D

con

0 0.
2π

4x2 + 4y 2 + 1 dxdy =
0 0

4ρ2 + 1 ρ dϕ dρ =

= 2π

12 (4ρ2 + 1)3/2 83

1

=
0

π √ (5 5 − 1). 6

2. Parametrize la superficie plana cuyo borde es la curva C: x2 + y 2 = z 2 /2 z =y+1

Solución:

La curva C es la intersección del cono x2 + y 2 = z 2 /2con el plano z = y + 1 :

1 1 x2 + y 2 = (y + 1)2 = (y 2 + 2y + 1) 2 2
→ x2 +

→

1 1 x2 + y 2 − 2y − = 0 2 2

→

(y − 1)2 =1 2

La integral de superficie
Es una elipse en el plano z = y + 1. Su proyección sobre el plano XY es (y − 1)2 la curva γ de ecuación x2 + = 1 (una elipse, también). Sea S la 2 superficie del plano z = y + 1 limitada por C; se puede parametrizar como
(y − 1)2≤1 . 2

r(x, y) = (x, y, y + 1),

(x, y) ∈ D =

(x, y) ∈ R2 :

x2 +

3. Calcule la integral x2 z dS ,
S

siendo S la superficie externa de x2 + y 2 = a2 comprendida entre z = 2 y z = −2. Solución:

La superficie es un cilindro circular recto. Puesto que x2 + y 2 = a2 y z está entre −2 y 2 consideraremos la siguiente parametrización:  x = a cos u   → r(u, v) = (a cos u, a senu, v),(u, v) ∈ D = [0, 2π]×[−2, 2] y = a senu   z=v Calculemos el producto vectorial fundamental: ∂r (u, v) = (−a senu, a cos u, 0), ∂u
∂r (u, v) = (0, 0, 1) ∂v

Problemas resueltos
ı  k −a senu a cos u 0 0 0 1 N =a x2 zdS =
S D

N (u, v) =

∂r ∂r (u, v) × (u, v) = ∂u ∂v

= (a cos u, a senu, 0);

a3 v cos2 u dudv = a3
0 2π 0

2π

2 −2

v cos2 u dv du =

= a3

cos2 u

v2 22

du = 0.
−2

4. Calcule el área de la porción de superficie cónica x2 + y 2 = z 2 situada por encima del plano z = 0 y limitada por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 2ax. Solución:

Hemos de parametrizar la superficie de la cual hay que hallar el área, esto es, la hoja superior (pues z ≥ 0) del cono x2 + y 2 = z 2 . Como S es la gráfica de la función z = x2 + y 2 = f (x, y) sobre la región D (quequeda definida por la intersección del cono y la esfera)
x2 + y 2 = z 2 x2 + y 2 + z 2 = 2ax
D=

→

2(x2 + y 2 ) = 2ax

→

a a2 (x − )2 + y 2 = 2 4

a a2 (x, y) ∈ R2 : (x − )2 + y 2 ≤ 2 4

La integral de superficie
entonces S = r(D) siendo r la parametrización: r(x, y) = (x, y,
x2 + y 2 ), ∀(x, y) ∈ D.

El producto vectorial fundamental es: N (x, y) = (− ∂f ∂f (x, y), − (x, y), 1)= ∂x ∂y
N (x, y) =
y el área pedida vale: a(S) =
D

−x
x2 + y2

,

−y
x2 + y 2

,1 ,

√ 2.

N (x, y) dxdy =
D

√ √ √ a2 2 dxdy = 2 µ(D) = 2 π . 4

5. Dado el recinto limitado por los planos z = y, z = 0 y el cilindro = a2 . Calcule el área de la porción de superficie cilíndrica comprendida entre los dos planos. x2 + y 2 Solución:

En el cilindro x2 + y 2 = a2 podemos tomarla parametrización:  x = a cos u   → r(u, v) = (a cos u, a senu, v), (u, v) ∈ D y = a senu   z=v

Problemas resueltos
siendo D = (u, v) ∈ R2 : 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ asenu De esta manera S = r(D) es la mitad de la superficie que se describe en el enunciado porque sólo consideramos la porción del cilindro con z ≥ 0. El producto vectorial fundamental es (véase el problema 1) N (u, v) = (a cos...