Integrales de superficie y teorema de green

Integrales de superficie

La integral de superficie es una extensión del concepto de integral doble, de igual modo en que la integral de línea es una extensión del concepto de integral de Riemann clásica. Como el nombre lo dice, es aquella integral cuya función es evaluada sobre una superficie.

Se define la integral de superficie de una función escalar en el espacio tridimensional R3 respectoa una superficie S representada por la función vectorial continua
.

Si la superficie S es la imagen de la región T en el plano uv, entonces establecemos la equivalencia:

en que , son las derivadas parciales de la función vectorial que define a S, respecto a las variables u y v.
La razón de esta definición proviene del hecho de que una integral doble "clásica" de una función puede definirsesubdividiendo la región de integración en pequeños rectángulos cuyos lados fueran de medidas y y efectuando la sumatoria de los productos en que el punto (x,y) se halla en el interior del rectángulo correspondiente.

Como puede observarse, es el área de cada uno de esos rectángulos, por lo que habitualmente este producto se denota por


.
Al extender este proceso a una superficietridimensional, ésta se divide en pequeños sectores de área en los cuales se escoge un punto (x,y,z) y se evalúa la sumatoria de los productos .
El área de estos sectores es aproximadamente igual al área del paralelogramo formado por sus vectores tangentes de longitud infinitesimal, y, por la definición de producto cruz, el vector es un vector perpendicular a ambos vectores cuya área es la de dichoparalelogramo, por lo tanto,. Al valor lo llamamos elemento escalar de área.
g (x, y, z)dS = lim ∑ g (xk, yk, zk) ∆T k
|| ∆ ||→0 k

Si S es la unión de varias superficies del tipo adecuado, entonces la integral de superficie se define como la suma de las integrales de superficie individuales. Si g (x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) y la integral de superficie es igual al área de la superficie de S.Definición: Sea F un campo vectorial definido en S, imagen de una superficie parame trizada Φ. La integral de superficie de F sobre Φ, denotada por: ∫∫ F*dS, se define por ∫∫ F*dS=∫∫ F*(TuxTv)du dv.













Ejemplo 1:
Calcule la integral de superficie , donde S es la esfera unitaria

Solución:
Para la esfera usamos la representación paramétrica
, , ,

Calculamos el producto cruz de los vetarestangentes:

=

Por la equivalencia:
= =

= =
=
=





Ejemplo 2:

Evalúe , donde S es la superficie , ,

Solución:

Como:

y
Entonces:

=
=
=










Ejemplo 3

Calcular la integral de superficie de donde S es la superficie en el primer octante del plano y

Solución:

Despejamos Z

y














Teorema de Green

El teorema de Green establece la relación entre una integralde línea alrededor de una curva cerrada y simple, y una integral doble sobre la región plana limitada por .
El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general Teorema de Stokes.
Este tipo de teoremas resulta muy útil ya que dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre cual hay que integrarlo, podemos elegir laposibilidad mas simple entre poder integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que este delimitando la curva.
Por otra parte, la relación así establecida entre la integral de la línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a ésta, permite a veces obtener información sobre una función o su integral enun espacio a partir del comportamiento de esta función sobre la frontera de dicho recinto.


Teorema de Green

Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región D acotada por C. Entonces:





Demostración del Teorema...