Problemas de modelacion cónicas UPC

Matemática para Ingeniería (MA261)
Clase Práctica sobre modelación con cónicas 14.2

1. Un cometa se desplaza en una órbita parabólica alrededor del sol que está en el foco de la
parábola. Cuando el cometa está a 80 millones de millas del sol, el segmento recto desde
el sol al cometa forma un ángulo de 60° con el eje de la órbita. ¿Qué tan cerca se
aproxima el cometa al sol?
Solución:(Complete los espacios en blanco dentro de los rectángulos)
La ecuación de la parábola es:

y  k 

2

y

 4 px  h 

Cometa

Cómo el vértice es (0; 0) la ecuación es:

•

40√3

80

y 2  4 px

(0; 0)

•

p Sol

(p+40, 40√3)

60°
40

x

Además ( p  40 ; 40 3 ) pertenece a la parábola
(40 3 ) 2  4 p ( p  40 )
4800  4 p ( p  40 )  p 2  40 p  1200  0Luego : ( p  60 ) ( p  20 )  0

p  60 y p  20
De donde
porque la parábola abre hacia la derecha.

pero se toma el valor de

p =20

Respuesta completa:
La distancia más cerca del cometa al sol es cuando pasa por el vértice de la parábola, es
decir 20 millones de millas.
Para pensar:
¿Cuál será la respuesta si el segmento recto desde el sol al cometa forma un ángulo de
45º?,¿está más lejos el cometa del sol del dato inicial?





Si el ángulo es 45° el punto p  40 2 ; 40 2 al remplazar en la ecuación
(40 2 )  4 p ( p  40 2 )
2

800  p ( p  40 2 )  p 2  40 2 p  800  0

Luego : p  11,72 y p  68 anulado por ser negativo
El cometa está más cerca al sol, a una distancia aproximada de 11,72 millones de millas.

.
¿Cuál será la respuesta si elsegmento recto desde el sol al cometa forma un ángulo de
120º?, ¿está más lejos el cometa del sol del dato inicial?





Si el ángulo es 120° el punto es p  40 ; 40 3 al remplazar en la ecuación
(40 3 )  4 p ( p  40)
2

 p  40 p  1200  0
2

Luego : p  60 y p  20 anulado por ser negativo
El cometa está más lejos del sol, a una distancia de 60 millones de millas.

1

2.Una parábola y la elipse 25 x 2  16 y 2  150 x  128 y  1119  0 tienen el mismo vértice y
el mismo foco. Hallar la ecuación estándar de la parábola si se sabe que abre hacia abajo.
Solución: (Complete los espacios en blanco dentro de los rectángulos)
Agrupando términos y completando cuadrados se
obtiene:
(25 x 2  150 x)  (16 y 2  128 y )  1119

25 ( x 2  6 x  9)  16 ( y 2  8 y 16 )  1119  225  256

Se obtiene: 25 ( x  3) 2  16 ( y  4) 2  1600
Dividiendo por 1600 ambos miembros de la ecuación
( x  3) 2 ( y  4) 2

1
64
100
El centro de la elipse C (h; k) es:

Los valores de

a = 10

C = (–3; 4)

b=8

c=6

Para la parábola (ver figura)
Vértice = (–3; 14)
Foco = (–3; 10), entonces p = –4 ¿por qué p es negativo?
El eje focal de la parábolaes paralelo al eje:
Por lo tanto su ecuación es:
( x  h) 2  4 p ( y  k )



La parábola se abre hacía abajo

y

( x  3) 2  16 ( y  14 )

Respuesta completa:
La ecuación estándar de la parábola que se abre hacia abajo es:

( x  3) 2  16 ( y  14 )

¿Cuál sería la ecuación de la elipse si los coeficientes de los términos cuadráticos se
intercambian entre sí y loscoeficientes de los términos lineales también?
( y  3) 2 ( x  4) 2
16 x 2  25 y 2  128 x  150 y  1119  0 Luego, sería:

1
64
100
El eje mayor de la elipse es paralelo al eje

x

Si la parábola original se abre hacia arriba el vértice es: V= (–3; -6) y el foco, F = (–3; -2)
La ecuación de la parábola será:
La parábola vertical abre hacia arriba y es:

( x  3)2  16 ( y  6)

23. Graficar la cónica cuya ecuación es 4 x 2  y 2  56 x  2 y  231  0 . Determine las
coordenadas de su centro, vértice(s) y foco(s).
Solución: (Complete los espacios en blanco dentro de los rectángulos)
20

y

Agrupando términos y completando cuadrados
se obtiene:
(4 x 2  56 x)  ( y 2  2 y )  231

15

4( x 2  14 x  7 2 )  ( y 2  2 y  12 )  231  196  1...