Problemas en geometria 3d

PROBLEMAS DE GEOMETRIA EN R3

1. Dados los vértices de un triángulo.

A = (3, 6, -7), B = (-5, 2, 3) y C = (4, -7, -2),

Hallar las ecuaciones paramétricas de su mediana trazada desde el vértice C.
Sol.

El punto medio del segmento AB es:
M = (A+B)/2 = (-1, 4, -2)

El vector direccional de la mediana es:

CM = (-5, 11, 0)

Las ecuaciones paramétricas dela mediana son:

x = 4 – 5t
M: y = -7 + 11t
Z = -2


2. Dados los vértices de un triángulo.

A = (3, -1, -1), B = (1, 2, -7) y C = (-5, 14, -3)

Hallar las ecuaciones canónicas de la bisectriz del ángulo interno del vértice B.
Sol.

Dos vectores que forman el ángulo interno B son:

BA = (2, -3, 6)
BC = 2(-3, 6, 2)

Tomemos:
a = (2, -3, 6)|a| = 7
c = (-3, 6, 2) |c| = 7

La bisectriz sigue la dirección:

b = k[a/|a| + c/|c|] = k/7(-1, 3, 8) = (-1, 3, 8), si k = 7

Luego, las ecuaciones canónicas de la bisectriz son:

x - 1 = y – 2 = z + 7
-1 3 8

3. Dados los vértices de un triángulo

A = (1, -2, -4), B = (3, 1, -3) y C = (5, 1, -7)

Hallar las ecuaciones paramétricas dela altura bajada desde el vértice B al lado opuesto.
Sol.

AB = (2, 3, 1)
AC = (4, 3, -3)

ProyAC AB = AB. AC AC = 7/17(4, 3, -3)
|AC|2

La dirección h de la altura es entonces:

h = k[AB - ProyAC AB] = 2k/17(3, 15, 19)

h = (3, 15, 19) si se elige k = 17/2

Un punto de paso de la recta es B = (3, 1, -3). Sus ecuaciones paramétricas son:

x = 3 + 3ty = 1 + 15t
z = -3 + 19t


4. Hallar el coseno del ángulo formado por las rectas:


L1 x – y – 4z – 5 = 0
2x + y – 2z – 4 = 0

L2 x + 6y – 6z + 2 = 0
2x + 2y + 9z – 1 =0
Sol.
Los planos que pasan por L1 tienen normales:

n1 = (1,-1,-4)
n2 = (2, 1, -2)

Un vector direccional de L1 es:

a = kn1 x n2 = 3k(2, -2, 1)
a = (2,-2, 1) si k=1/3

De manerasimilar, los planos que pasan por L2 tienen normales:

n3 = (1,-6, -6)
n4 = (2, 2, 9)

De aquí que un vector direccional de L2 es:

b = ln3 x n4 = -7l(6, 3, -2)
b = (6, 3, -2) si se elige l = -1/7

El coseno del ángulo formado por los vectores a y b es:

CosФ = a.b = 4
|a| |b| 21

Ф = Arc Cos 4/21

5. Demostrar que la condición según la cual las dosrectas:

L1 x – a1 = y – b1 = z – c1
L1 m1 n1

L2 x – a2 = y – b2 = z – c2
L2 m2 n2

y están situados en un plano, se puede expresar de la forma siguiente:



(a2 – a1) (b2 – b1) (c2 – c1)
l1 m1 n1 = 0
l2 m2 n2
Sol.
Las ecuaciones vectoriales de L1 y L2 son:

L1 : (x, y, z) = (a1, b1, c1) +s(l1, m1, n1) = P0 + sa

L2 : (x, y, z) = (a2, b2, c2) + t(l2, m2, n2) = Q0 + tb

Asumiendo que L1 ≠ L2, se pueden presentar dos casos excluyentes:
1) L1 y L2 se cruzan.
2) L1 y L2 pertenecen a un mismo plano: es decir que ó son paralelas o se interceptan en un punto.

En el primer caso, en que L1 y L2 se cruzan, los vectores P0Q0, a y b son linealmente independientespor lo que su triple producto escalar es distinto de cero:
[P0Q0 a b] ≠ 0
En cambio, si L1 y L2 están en el mismo plano, los vectores P0Q0, a y b son linealmente dependientes, luego:
[P0Q0 a b] = 0
En conclusión: L1 y L2 están en el mismo plano [P0Q0 a b] = 0


A2 – a1 b2 – b1 c2 – c1
l1 m1 n1 = 0
l2 m2 n2

6. Hallar las ecuaciones de larecta que pasa por el punto M1 = (-1, 2, -3), es perpendicular al vector a = (6, -2, -3) y se corta con la recta:

x - 1 = y + 1 = z – 3
3 2 -5
Sol.
Un punto de la recta L buscada pertenece a la recta dada. Luego

M2 = (1, -1, 3) + s(3, 2, -5) ε L para algún s
M1 = (-1, 2, -3)

L sigue la dirección M1 y M2 , donde M1 M2 = (2, -3, 6) + s(3, 2, -5)...