Geometria 3d






Taller Nº 4: Cilindros y superficies cuádricas
Introducción:
Hasta ahora hemos estudiado dos tipos especiales de superficies: esferas y planos. En esta sección ampliamos nuestro inventario para incluir una variedad de cilindros y superficies cuádricas. Estas últimas son superficies definidas por ecuaciones de segundo grado en x, y y z. Las esferas son superficies cuádricas, pero hayotras de igual interés.

Cilindros
Un cilindro es una superficie generada al mover una línea recta paralela a una recta fijada a lo largo de una curva plana dada. La curva se conoce como curva generatriz del cilindro (figura 1.1). En geometría sólida, donde cilindro significa cilindro circular, las curvas generatrices son circunferencias, pero ahora permitiremos que las curvas generatrices seanarbitrarias. El cilindro de nuestro primer ejemplo es generado por una parábola.
Al graficar manualmente un cilindro u otra superficie, o al analizar una superficie generada por computadora, es útil analizar las curvas que se forman al cortar la superficie con planos paralelos a los planos coordenados. Estas curvas se conocen como secciones transversales o trazas.

EJEMPLO Un cilindroparabólico dado por la Función
Determinar una ecuación para el cilindro formado por las rectas paralelas al eje z que pasan
por la parábola y = x², z = 0 (figura 1.2).







Solución
Suponga que el punto P0 (x0 , x0² , 0 ) está sobre la parábola y=x² en el plano xy. Entonces, para cualquier valor de z, el punto Q(x0 , x0²,z) estará sobre el cilindro, pues está en la recta x=x0,y=x0² que pasa por paralela al eje z. Recíprocamente, cualquier punto Q(x0 , x0²,z) cuya coordenada y sea el cuadrado de su coordenada x está sobre el cilindro, pues se encuentra sobre la recta x=x0, y=x0² que pasa por P0 paralela al eje z (figura 1.3).
Así, independientemente del valor de z, los puntos sobre la superficie son aquellos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación y=x². Esto hacey=x² de una ecuación para el cilindro. Por esto llamamos a esta superficie “el cilindro y=x²”
Como sugiere el ejemplo 1, cualquier curva f(x,y)=c en el plano xy define un cilindro paralelo al eje z cuya ecuación también es f(x,y)=c. La ecuación x²+y²=1 define al cilindro circular formado por las rectas paralelas al eje z que pasan por la circunferencia x²+y²=1 en el plano xy. La ecuación x²+4y²=9define al cilindro elíptico formado por las rectas paralelas al eje z que pasan por la elipse x²+4y²=9 en el plano xy.
De manera similar, cualquier curva g(x,z)=c en el plano xz define un cilindro paralelo al eje y cuya ecuación espacial es también g(x,z)=c (figura 1.4). Cualquier curva h(y,z) = c define un cilindro paralelo al eje x cuya ecuación espacial es también h(y,z)=c (figura 1.5). Sinembargo, el eje de un cilindro no tiene que ser paralelo a un eje coordenado.













Ejemplos de Cilindros:

Cilindros circulares:










Cilindro Parabólico:



Cilindro Elíptico:





Cilindro Hiperbólico:



Superficies cuadráticas
El siguiente tipo de superficies que estudiaremos es el de las superficies cuádricas. Estas superficies sonel análogo tridimensional de las elipses, parábolas e hipérbolas.
Una superficie cuádrica es la gráfica en el espacio de una ecuación de segundo grado en x, y y z. La forma más general es:




Donde A, B, C, etcétera, son constantes reales. Sin embargo, esta ecuación se puede simplificar mediante traslaciones y rotaciones, como en el caso bidimensional. Sólo estudiaremos las ecuaciones mássencillas. Aunque definidos de otro modo, los cilindros de las figuras
12.45 a 12.47 también son ejemplos de superficies cuádricas. Las superficies cuádricas básicas son los elipsoides, los paraboloides, los conos elípticos y los hiperboloides.
(Consideramos a las esferas como elipsoides especiales). Ahora presentaremos ejemplos de cada tipo.

EJEMPLO 2 Elipsoides
El elipsoide está dada...