Problemas Metricos

UNIDAD 7

PROBLEMAS MÉTRICOS
EN EL ESPACIO

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Dirección de un plano
Halla la ecuación del plano paralelo a 5x – y + 4 = 0 que pasa por (1, 0, –3).
5(x – 1) – 1(y – 0) + 0(z + 3) = 0; es decir: 5x – y – 5 = 0
Halla la ecuación del plano perpendicular a la recta
pasa por (1, 4, – 6).

x–3
y+1 z–4
=
=
que
5
2
–6

5(x – 1) + 2(y – 4) – 6(z + 6) = 0; es decir: 5x + 2y –6z – 49 = 0
Halla la ecuación del plano π que contiene a r y es paralelo a s:
x= 5+ λ

r :  y = –1
 z = 8 + 2λ


 x = 4 + 3λ

s:  y = 3 – λ
 z = 5 + 4λ


El plano pasa por (5, –1, 8) y es paralelo a (1, 0, 2) y a (3, –1, 4). Un vector normal al
plano es: (1, 0, 2) × (3, –1, 4) = (2, 2, –1).
La ecuación del plano es: 2(x – 5) + 2(y + 1) – 1(z – 8) = 0; es decir: 2x + 2y –z = 0
Dirección de una recta
Halla las ecuaciones paramétricas de la recta paralela a r que pasa por
P (0, –1, –3):
a) r :

x–1 y+3 z
=
=
8
–2
5

 3x – 5y + 7z – 4 = 0
b) r : 
 x – 2y + z + 1 = 0

 x = 8λ

a)  y = –1 – 2λ
 z = –3 + 5λ

b) Un vector dirección de la recta es: (3, –5, 7) × (1, –2, 1) = (9, 4, –1)
 x = 9λ

Las ecuaciones paramétricas son:  y = –1 +4λ
 z = –3 – λ

Unidad 7. Problemas métricos en el espacio

1

P ágina 181
Halla la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a π y a σ:
π: x – 2y = 5

σ: 2x + z = 7

Un vector normal al plano es: (1, –2, 0) × (2, 0, 1) = (–2, –1, 4)
La ecuación del plano será: –2x – y + 4z = 0
Distancias
Siguiendo el proceso anterior, halla la distancia delpunto P (8, 6, 12) a la recta r :
x=2

r:  y = 1 – λ
 z = 7 + 2λ

Describe el proceso que seguirías para hallar la distancia de un punto P a un
plano π, de modo que, finalmente, se reduzca al cálculo de la distancia entre
dos puntos.
• Ecuación del plano π que contiene a P y es perpendicular a r :
0 · (x – 8) – 1 · (y – 6) + 2 · (z – 12) = 0; es decir, π: –y + 2z – 18 = 0
• Punto, Q,de corte de r y π:
–(1 – λ) + 2(7 + 2λ) – 18 = 0
–1 + λ + 14 + 4λ – 18 = 0
5λ – 5 = 0 → λ = 1
El punto es Q (2, 0, 9).
• Calculamos la distancia:

→
dist (P, r) = dist (P, Q) = |PQ| = |(–6, –6, –3)| = √ 36 + 36 + 9 = √ 81 = 9

Halla, paso a paso, la distancia del punto P (4, 35, 70) al plano π: 5y + 12z – 1 = 0
P

Q

— Obtenemos el punto, Q, de intersección de r y π.

r

π

—Hallamos la ecuación de la recta, r, que pasa por
P y es perpendicular a π.
— La distancia de P a π es igual a la distancia entre
P y Q.

Para el punto y el plano dados:
• Recta, r, que pasa por P y es perpendicular a π:
x= 4

r :  y = 35 + 5λ
 z = 70 + 12λ

Unidad 7. Problemas métricos en el espacio

2

• Punto, Q, de intersección de r y π:
5(35 + 5λ) + 12(70 + 12λ) – 1 = 0175 + 25λ + 840 + 144λ – 1 = 0
169λ + 1 014 = 0 → λ = –6
El punto es Q (4, 5, –2).
• Calculamos la distancia:

→
dist (P, π) = dist (P, Q) = |PQ| = |(0, –30, –72)| = √ 900 + 5 184 = √ 6 084 = 78

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x–3
y
z–2
=
=
7
–1
3

1. Calcula el ángulo que forma la recta:

con el plano

x + 3y – z + 1 = 0.
→

→

Llamamos 90° – α al ángulo formado por las direcciones de dy n sin tener en
cuenta sus sentidos.
→

→

n(1, 3, –1) ⊥ π

d (7, –1, 3) // r

→

cos (90° – α) =

|d · →|
n

→

→

d  ·  n 

=

|7 – 3 – 3|
1
≈ 0,039
—
—=
√ 59 · √ 11
√ 649

90° – α = 87° 45' 1'' → α = 2° 14' 59''
2. Determina la ecuación de la recta r que pasa por el punto A y es perpendicular al plano π:
π: 2x – 3y – z + 1 = 0

A (3, 0, –1)

Un vectordirección de la recta es el vector normal al plano: (2, –3, –1).
 x = 3 + 2λ

Las ecuaciones paramétricas de r son:  y = –3λ
 z = –1 – λ


P ágina 185
1. Halla razonadamente la distancia de P (5, 6, 6) a la recta r : (5λ, 2 – λ, λ).
Hazlo por cada uno de los tres métodos aprendidos.
Solución, obteniendo previamente el punto P' :
r

π

P'

• Plano, π, que pasa por P y es...