problemas

Intervalos de confianza

Estadística Teórica II

INTERVALOS DE CONFIANZA

Santiago de la Fuente Fernández

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Intervalos de confianza

CÁLCULO DE INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA CON DESVIACIÓN TÍPICA
POBLACIONAL CONOCIDA Y DESCONOCIDA. CÁLCULO DEL TAMAÑO MUESTRAL PARA UN
INTERVALO DE CONFIANZA DADA LA AMPLITUD Y EL NIVEL DE SIGNIFICACIÓN.

1.- El peso (en gramos) de lascajas de cereales de una determinada marca sigue una
distribución N (μ , 5). Se han tomado los pesos de 16 cajas seleccionadas
aleatoriamente, y los resultados obtenidos han sido:
506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496.
a) Obtener los intervalos de confianza del 90%, 95% y 99% para la media poblacional.
b) Determinar cuál sería el tamaño muestralnecesario para conseguir, con un 95% de
confianza, un intervalo de longitud igual a 2 gramos.
c) Suponiendo ahora que σ es desconocida, calcular los intervalos de confianza para la
media al 90%, 95% y 99%.
Solución.a) Estamos situados en el caso de construir un intervalo de confianza para la media
poblacional μ de varianza conocida σ 2 = 25 . Sabemos que el intervalo de confianza de
nivel 1 − α ,viene dado por:

I 1− α (μ) =

[

media
muestral

}
x

Error

muestral ⎧
σ
6
4748 ⎪
a n=
L
= 2 zα2
σ ⎪ 1− α
n
]⎨
± zα2
n ⎪
σ
⎪ Error muestral = z α 2 n
⎩

⎛2 zα 2 σ
⎜
⎜ longitud
⎝

⎞
⎟
⎟
⎠

2

L = longitud o amplitud

16

x =

∑x
i =1

16

i

= 503,75

⎧ 1 − α = 0,90 α = 0,10 α 2 = 0,05
⎪
⎨ 1 − α = 0,95 α = 0,05 α 2 = 0,025
⎪ 1 − α = 0,99 α= 0,01 α 2 = 0,005
⎩

z α 2 = 1,645
z α 2 = 1,96

z α 2 = 2,575

Los intervalos de confianza solicitados serán:
⎡
⎡
5 ⎤
5
5 ⎤
I 0,90 (μ) = ⎢503,75 ± 1,645
, 503,75 + 1,645
⎥ = ⎢503,75 − 1,645
⎥
16 ⎦
16
16 ⎦
⎣
⎣
I 0,90 (μ) = [ 501, 69 ; 505, 81 ] ≡ P [ 501, 69 ≤ μ ≤ 505, 81 ] = 0, 90 = 1 − α

⎡
⎡
5 ⎤
5
5 ⎤
I 0,95 (μ) = ⎢503,75 ± 1,96
, 503,75 + 1,96
⎥ = ⎢503,75 −1,96
⎥
16
16
16
⎣
⎦
⎣
⎦
I 0,95 (μ) = [ 501, 30 ; 506, 20 ] ≡ P [ 501, 30 ≤ μ ≤ 506, 20 ] = 0, 95 = 1 − α
⎡
⎡
5 ⎤
5
5 ⎤
I 0,99 (μ) = ⎢503,75 ± 2,575
, 503,75 + 2,575
⎥ = ⎢503,75 − 2,575
⎥
16 ⎦
16
16 ⎦
⎣
⎣
I 0,99 (μ) = [ 500, 53 ; 506, 97 ] ≡ P [ 500, 53 ≤ μ ≤ 506, 97 ] = 0, 99 = 1 − α

Santiago de la Fuente Fernández

78

Intervalos de confianza

Si calculamos lalongitud de cada uno de los intervalos de confianza tenemos:
L 0,90 (μ) = 505, 81 − 501, 69 = 4,12 El primer intervalo de confianza es de menor longitud,
L 0,95 (μ) = 506, 20 − 501, 30 = 4,9
y, por tanto, podría parecer de más preciso, pero no
L 0,99 (μ) = 506, 97 − 500, 53 = 6,44 olvidemos que su nivel de confianza también es menor.

σ ⎤
⎡
b) La amplitud o longitud vendrá dado por la fórmula:I 1−α (μ) = ⎢x ± z α 2
n ⎥⎦
⎣
⎛ amplitud o ⎞ ⎛
σ ⎞ ⎛
σ ⎞
σ
⎟⎟ − ⎜⎜ x − z α 2
⎟⎟ = 2 z α 2
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜ x + z α 2
a n=
n⎠ ⎝
n⎠
n
⎝ longitud ⎠ ⎝

⎛2 zα 2 σ
⎜
⎜ amplitud
⎝

⎞
⎟
⎟
⎠

2

2

⎛ 2 (1, 96) 5 ⎞
siendo, n = ⎜
⎟ ≈ 96 cajas de cereales
2
⎝
⎠
c) Nos encontramos en el caso de construir un intervalo de confianza para la media
poblacional μ de varianzapoblacional desconocida, con muestras pequeñas (n ≤ 30).
El intervalo de confianza de nivel 1 − α , viene dado por:
⎡
I 1− α (μ) = ⎢ x ± t (α
⎣

2), n−1

⎧ 1 − α = 0,90 α = 0,10
sx⎤ ⎪
⎥ ⎨ 1 − α = 0,95 α = 0,05
n⎦ ⎪
⎩ 1 − α = 0,99 α = 0,01

t 0,05 ;15 = 1,753
t 0,025 ;15 = 2,131
t0,005 ;15 = 2,947

16

cuasivarianza muestral

s 2x =

∑(x i − x )2

i=1

15

= 36,037

sx ≈ 6cuasidesviación típica

Los intervalos de confianza solicitados serán:
⎡
⎡
6 ⎤
6
6 ⎤
I 0,90 (μ) = ⎢503,75 ± 1,753
, 503,75 + 1,753
⎥ = ⎢503,75 − 1,753
⎥
16 ⎦
16
16 ⎦
⎣
⎣
I 0,90 (μ) = [ 501,12 ; 506, 38 ] ≡ P [ 501,12 ≤ μ ≤ 506, 38 ] = 0, 90 = 1 − α

⎡
⎡
6 ⎤
6
6 ⎤
I 0,95 (μ) = ⎢503,75 ± 2, 131
, 503,75 + 2, 131
⎥ = ⎢503,75 − 2, 131
⎥
16 ⎦
16
16 ⎦
⎣
⎣
I 0,95 (μ)...