Problemas

´Indice general
1. Extremos de funciones

2

2. Parametrizaci´
on, Triedro de Frenet

21

3. Coordenadas curvil´ıneas

34

4. Integrales de trayectoria y de l´ınea

41

5. Integrales Iteradas

50

6. Teoremas Integrales

57

1

Cap´ıtulo 1

Extremos de funciones
1. Sea f (x, y) = Ax2 + B con A = 0. ¿Cu´ales son los puntos cr´ıticos de f ?
¿Son m´
aximos locales o m´ınimos locales?
Soluci´
on.Los puntos cr´ıticos son aquellos en los que las derivadas parciales son iguales a cero:
∂f
= 2Ax = 0
∂x
∂f
= 0.
∂y
De donde x = 0. Como no hay condici´on sobre y, los puntos cr´ıticos son
entonces los de coordenadas (0, y), es decir, el eje y.
El discriminante es 0, por lo que el criterio de la segunda derivada no
ayuda en este caso. Sin embargo, es f´acil ver que si A > 0, la funci´on
g(x) = Ax2tiene su m´ınimo en x = 0, por lo que los puntos cr´ıticos
corresponden a m´ınimos locales en este caso. De igual manera, si A < 0,
los puntos cr´ıticos corresponden a m´aximos locales.
2. Sea f (x, y) = x2 −2xy +y 2 . Aqu´ı el discriminante es igual a cero. ¿Qu´e son
los puntos cr´ıticos: m´ınimos locales, m´aximos locales o puntos silla?
Soluci´
on. Los puntos cr´ıticos son aquellos en los quelas derivadas parciales son iguales a cero:
∂f
= 2x − 2y = 0 ⇒ x = y
∂x
∂f
= −2x + 2y = 0 ⇒ x = y.
∂y
Entonces los puntos cr´ıticos tienen coordenadas (a, a). La funci´on se puede
escribir como f (x, y) = x2 − 2xy + y 2 = (x − y)2 , que en los puntos cr´ıticos
es igual a 0: el menor valor posible para un cuadrado de valores reales;
por lo tanto, los puntos cr´ıticos son m´ınimos locales.
2

Si elcriterio de la
segunda derivada no decide, no
significa que no
se pueda encontrar la naturaleza de un punto
cr´ıtico por otros
medios.

3. Dada la funci´
on f (x, y) = y arctan(x), encuentra sus puntos cr´ıticos y
determina la naturaleza de cada uno de ellos.
[Primer Examen Final “B” 2005-1 Problema 1]

Soluci´
on. Las condiciones para que un punto sea cr´ıtico son:
∂f
= arctan(x) = 0 ⇒ x = 0
∂y∂f
y
⇒ y = 0.
=
∂x
1 + x2
Por lo que el u
´nico punto cr´ıtico es el origen. Adem´as, fyy = 0 y fxy =
por lo que
D=

∂2f
∂y 2

∂2f
∂x2

∂2f
∂x ∂y

−

2

=−

1
1 + x2

1
1+x2

2

< 0,

en (0, 0). Entonces, (0, 0) es el u
´nico punto cr´ıtico y es un punto silla.
4. Determina la naturaleza de los puntos cr´ıticos de la funci´on f (x, y) = e6xy .
[Primer Examen Parcial “A” 2005-1 Problema 1]

Soluci´
on.En los puntos cr´ıticos, las primeras derivadas parciales son cero:
fx = 6ye6xy = 0
fy = 6xe6xy = 0.
Como e6xy = 0 para cualesquiera valores de x y de y, la u
´nica soluci´on al
sistema es cuando x = y = 0. Las segundas derivadas son:
fxx = 36y 2 e6xy
fyy = 36x2 e6xy
fxy = 36xye6xy + 6e6xy .
El valor del discriminante en el origen es D = 0 · 0 − 62 = −36 < 0. Por lo
tanto, el origen es el u
´nicopunto cr´ıtico y es un punto silla.
5. Determina la naturaleza de los puntos cr´ıticos de la funci´on f (x, y) =
x3 + y 3 − 3xy.
[Primer Examen Parcial “A” 2004-2 Problema 1]

Soluci´
on. Al igualar la primeras derivadas a cero, obtenemos que:
fx = 3x2 − 3y = 0
fy = 3y 2 − 3x = 0

⇒

x2 = y
y2 = x

de donde x4 = x ⇒ x(x3 − 1) = 0, que tiene como soluciones reales a 0 y
1, de manera que hay dospuntos cr´ıticos: P1 (0, 0) y P2 (1, 1). Las segundas
3

derivadas son fxx = 6x, fyy = 6y y fxy = −3. El valor del discriminante
en cada punto cr´ıtico es D1 = −9 y D2 = 36 − 9 = 27, respectivamente,
por lo que P1 es un punto silla mientras que P2 es un m´ınimo debido a que
fxx > 0 en P2 . Es u
´til ver los puntos cr´ıticos en la gr´afica de la funci´on,
que se muestra en la Fig. 1.1.

Figura 1.1Gr´
afica de f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy y sus curvas de nivel

6. En los siguientes ejercicios, encuentra los puntos cr´ıticos de f y determina
si son m´
aximos, m´ınimos o puntos silla.
a) f (x, y) = x2 − y 2 + xy
b) f (x, y) = x2 + y 2 + 2xy
2

c) f (x, y) = e1+x

−y 2

d ) f (x, y) = 3x2 + 2xy + 2x + y 2 + y + 4
e) f (x, y) = cos x2 + y 2 . Aqu´ı s´olo considera los puntos cr´ıticos (0, 0),...