probres7

Cap¶³tulo 7
Series Funcionales.
Series de Fourier.
Problemas resueltos
Salvador Vera Ballesteros
www.satd.uma.es/matap/svera

7.1

Series de funciones

7.2

series de potencias

De¯nici¶
on 7.1 Se llama serie de potencia a la serie de funciones del tipo
1
X
n=0

an xn = a0 + a1x + a2 x2 + ¢ ¢ ¢ + an xn + ¢ ¢ ¢

o del tipo
1
X
n=0

an(x ¡ x0)n = a 0 + a1 (x ¡ x0) + a2(x ¡ x0 )2 + ¢ ¢ ¢ + an (x ¡xn )n + ¢ ¢ ¢

donde los coe¯cientes a 0; a1; a 2; ¢ ¢ ¢ ; an; ¢ ¢ ¢ son constantes.
Teorema 7.1 Para la convergencia de la serie de potencias

1
X
n=0

caben las tres posibilidades siguientes
1

an xn s¶olamente

2

CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

SERIES DE FOURIER.

1. La serie converge u¶nicamente en el punto x = 0
2. La serie converge en toda la recta real (¡1; 1)
3. La serie converge en unintervalo centrado en el origen (¡R; +R) y
diverge fuera de ¶el. Pudiendo ser convergente o no en los extremos de
dicho intervalo.
De¯nici¶
on 7.2 Al intervalo donde converge la serie se le llama intervalo de
convergencia y a R radio de convergencia
Teorema 7.2 El radio de convergencia de una serie de potencias puede calcularse por cualquiera de las dos f¶ormulas siguientes
R = lim

n!1

j an j
jan+1 j

1
j an j

R = lim p
n
n!1

Teorema 7.3 (Continuidad uniforme) La serie de potencias converge absolutamente y de manera uniforme en cualquier intervalo cerrado totalmente
comprendido en el intervalo de convergencia
[¡a; a] ½ (¡R; R)
Teorema 7.4
1. La suma de la serie de potencias S(x) es continua en
cada punto x de su intervalo de convergencia (¡R; R)
2. La serie de potencias puedederivarse e integrarse dentro del intervalo
de convergencia,conserv¶andose el radio de convergencia.
Ejemplo 7.1 Halla el campo de convergencia de la serie
1
X
xn
n!
n=1

Soluci¶
on: Podemos elegir entre aplicar el criterio del cociente o calcular el
radio de convergencia directamente. Tenemos
an =

1
n!

an+1 =

1
(n + 1)!

de donde
¯
¯
¯ an ¯
¯ = lim (n + 1)! = lim (n + 1) ¢ n! = lim (n + 1) = 1
R = lim¯¯
n!1 an+1 ¯
n!1
n!1
n!1
n!
n!

Por consiguiente, el intervalo de convergencia es (¡1; 1), es decir, la serie
converge en toda la recta real.

7.2. SERIES DE POTENCIAS

3

Ejemplo 7.2 Halla el campo de convergencia de la serie
1
X

n! xn

n=1

Soluci¶
on: Podemos elegir entre aplicar el criterio del cociente o calcular el
radio de convergencia directamente. Tenemos
an = n!

an+1 = (n + 1)!

dedonde
¯
¯
¯ an ¯
n!
n!
1
¯
¯ = lim
R = lim ¯
= lim
= lim
=0
¯
n!1 an+1
n!1 (n + 1)!
n!1 (n + 1) ¢ n!
n!1 n + 1
Por consiguiente, la serie converge s¶olo en el punto x = 0.
Ejemplo 7.3 Halla el campo de convergencia de la serie
1
X
(¡1)n¡1
n=1

n ¢ 3n

(x + 1)n

Soluci¶
on: Podemos elegir entre aplicar el criterio del cociente o calcular el
radio de convergencia directamente. Tenemos
an =
de donde(¡1)n¡1
n ¢ 3n

an+1 =

(¡1)n
(n + 1) ¢ 3n+1

¯
¯
n+1
¯ an ¯
1
¯ = lim (n + 1) ¢ 3
R = lim ¯¯
= lim 3(1 + ) = 3
¯
n
n!1 an+1
n!1
n!1
n¢ 3
n
Por consiguiente, la serie converge absolutamente en el intervalo j x + 1 j< 3,
y eliminando el valor absoluto tenemos
j x + 1 j< 3 ! ¡3 < x + 1 < 3 ! ¡4 < x < 2
Tenemos que comprobar la convergencia de la serie en los extremos del intervalo
Cuando x = ¡4,obtenemos la serie num¶erica
1
X
(¡1)n¡1
n=1

n ¢ 3n

n

(¡3) =

1
X
(¡1)n¡1
n=1

n

n

(¡1) =

n=1

que es la serie armonica divergente.
Cuando x = 2, obtenemos la serie num¶erica
1
X
(¡1) n¡1
n=1

n ¢ 3n

n

(3) =

1
X
(¡1)2n¡1

1
X
(¡1)n¡1
n=1

n

n

1
X
1
=¡
n
n=1

4

CAP¶ITULO 7. SERIES FUNCIONALES.

SERIES DE FOURIER.

que es una serie alternada condicionalmente convergente.
Por lo tanto elcampo de convergencia de la serie es ¡4 < x · 2.
Ejemplo 7.4 Halla el campo de convergencia de la serie
1
X
(¡1)n
(x + 1)n
n
n
n=1
Soluci¶
on: Podemos elegir entre aplicar el criterio de la raiz o calcular el
radio de convergencia directamente. Tenemos
(¡1)n
an =
nn
de donde
s
p
1
R = lim n
= lim n nn = lim n = 1
n!1
n!1
j a n j n!1
Por consiguiente, la serie converge absolutamente en el...