ProcesoPoisson

Si n es grande y p es pequeo tenemos la siguiente aproximacin Teorema Si n(( y p(0 en forma tal que np(a entonces C(n,k) pkqn(k ( e(a ak / k Demostracin Definimos an np as que an(a. Tenemos que EMBED Equation.3 k01234(5Nk229211933571576 Pk226211993172 Proceso Poisson A lo largo del eje positivo del tiempo (t0) se presentan aleatoriamente eventos. Por ejemplo, una sustancia radioactiva emitepartculas o llegan llamadas a una central telefnica. El modelo ms simple para describir este tipo de proceso es el que se describe a continuacin. Para 0(ut llamemos Ak(u,t en el intervalo (u,t se emiten k partculas. Haremos las siguientes hiptesis. I) El proceso es homogneo con respecto al tiempo PA(u,t Pk(t(u) II) Lo que ocurre en intervalos disjuntos es independiente Ak(u,t y Ak(t,v sonindependientes. III) La probabilidad que se presenten simultneamente 2 o ms eventos es imposible. Esto se puede expresar imponiendo la condicin de que la probabilidad que se presenten 2 o mas eventos en el intervalo (0,t ,dado que se present un evento en dicho intervalo, tiende a 0 con t. Esto es equivalente a la condicin EMBED Equation.3 Demostraremos que I), II) y III) implican que Pk(t) e((t((t)k / k (A) Demostracin Realizaremos la demostracin en 4 pasos. 1) De la definicin de Ak(u,t resulta Ak(0,ts Ak(0,t ( A0(t,ts Ak(1(0,t ( A1(t,ts ... A0(0,t ( Ak(t,ts De los axiomas I) y II) resulta Pk(ts) Pk(t) P0(s) Pk(1(t) P1(s) ... P0(t) Pk(s) (B) 2) Demostraremos que P0(t) e((t donde (0. (C) De (B) resulta para k0 que P0(ts) P0(t) P(s). Estomuestra que P0(t) es no creciente. Adems, si r y s son enteros positivos deducimos que P0(r/s) P0(1/s)r Para el caso particular rs se deduce P0(1/s) P0(1)1/s . Reemplazando P0(r/s) P0(1)r/s Como P0(t) es no creciente debemos tener 0(P0(1)(1. P0(1) 1 implica P0(t) 1 para t racional lo que contradice III) P0(1) 0 implica por (B) P1 (ts)0 lo que tambien contradice III) Por lo tanto, existe (0 talque P0(1) e((. Esto demuestra (C) para t racional. Sea t0 un nmero real y dos sucesiones de numeros racionales tales que rn (t y sn (t entonces exp(((rn) ( P0(t) ( exp(((sn) Tomando el lmite queda demostrado (C). 3) De (C) resulta 1(P0(t) / t ( ( cuando t(0 (D1) Aplicando este resultado en III) resulta P1(t) / t ( ( cuando t(0 (D2) Finalmente observamos que 0 ( P0(t)P1(t) Pk(t) ( 1. De donde 0 ( Pk(t) / t ( P1(t) / t 1(P0(t) / t . De donde Pk(t)/ t ( 0 cuando t(0 (k(2) (D3) 4) A partir de (B) obtenemos EMBED Equation.3 Haciendo s(0 y teniendo en cuenta (D1), (D2) y (D3) resulta Pk(t) (( Pk(t) ( Pk(1(t) ( e(t Pk(t) ( Pk(t) ( e(t Pk(1(t) Proceso Poisson (continuacion) En el proceso Poisson llamemos (n instante en que ocurre el ensimo evento.Hallaremos la funcin densidad de (n computando (1/(x) lim Px(n(x((x cuando (x(0. Llamemos Aj j eventos ocurren en (0,x Bk Por lo menos k eventos ocurren en (x,x((x Tenemos que Px(n(x((x PA0Bn ( A1Bn(1 ( ... ( An(1B1 PA0Bn ( ... An(2B2 ( PAn(1B1 Observemos que PB2 1(P0((x)(P1 ((x). Por lo tanto, PB2/(x (0 cuando (x(0. Como A0Bn ( ... An(2B2 ( B2 resulta que PA0Bn ( ... An(2B2/(x(0. Porotra parte, PB1An(1 1(P0((x ) e((x ((x)n(1 / (n(1) En consecuencia la funcin densidad de (n est dada por EMBED Equation.3 La distribucin gamma La funcin gamma se define por EMBED Equation.3 Observamos que ((1) 1 Por integracin por partes resulta la ecuacin funcional ((a) a ((a(1) De donde se obtiene para n entero positivo ((n) (n(1) De la definicin obtenemos ((1/2) (e(x x(1/2 dx . Usando lasustitucin xy2/2 ((1/2) (2 ( exp((y2/2) dx ((1/2) (( Adems ((3/2) ((1/2) (( Ms generalmente EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Para cualquier real a 0 usaremos la notacin EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Ga(x) es una funcion distribucin. Su momento de orden k resulta (1/((a)) ( xk e(x xa(1 dx ((ak) / ((a) a (a1) ... (ak(1) La funcin Ga((x) para x(0, donde ( es un parmetro positivo,...